Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Petua trapezium digunakan untuk ∫01 eˣ dx. Ralatnya paling banyak (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 1]. Cari bilangan jalur terkecil n yang menjamin ralat di bawah 0.001.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0.001
n =
2.Kaedah berangkaSukar
Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.25 untuk y′ = t + y, y(0) = 0.5 untuk menganggar y4 ≈ y(1).
y′ = t + yy(0) = 0.5h = 0.25
y4 =
3.Jujukan & siriSederhana
Cari hasil tambah S = Σk=1∞ 2/(k(k + 4)).
ak = 2/(k(k + 4))
S =
4.Jujukan & siriSukar
f(x) = eˣ dianggarkan pada x = 1 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 3, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 1 × 10⁻⁶.
f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Matriks & penentuSederhana
Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−3 5 4; 1 −3 5; 5 4 4]
det A =
6.Matriks & penentuSukar
Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.
A = [5 4; −1 0]
λ =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Selesaikan y″ + 7y′ + 12y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 4. Cari y(0.5).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = 4
y(0.5) =
8.Persamaan pembezaanSukar
Selesaikan y″ + 2y′ + 26y = 0 dengan y(0) = 10 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(1.5); sudut dalam radian.
y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(1.5) =
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: n = 16
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Had terbitan kedua
M = e1 = 2.718
Selesaikan untuk n
n² > 1·2.718/(12·0.001) = 226.5
n > 15.05 → n = 16
Jawapan
n = 16
2.Kaedah berangka
Jawapan: y4 = 1.662
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 0.5 + 0.25·(0.5) = 0.625
y₂ = 0.625 + 0.25·(0.875) = 0.84375
y₃ = 0.84375 + 0.25·(1.34375) = 1.179688
y₄ = 1.179688 + 0.25·(1.929688) = 1.662109
Graf
y4 = 1.662
Jawapan
y4 = 1.662
Nilai tepat ialah y(1) = 2.077423.
3.Jujukan & siri
Jawapan: S = 1.042
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Pecahan separa
2/(k(k + 4)) = (2/4)·(1/k − 1/(k + 4))
Batal
S = (2/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1.042
Jawapan
S = 1.042
4.Jujukan & siri
Jawapan: n = 9
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Had untuk n yang meningkat
n = 8: 8.267 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 8.267 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
Darjah terkecil
n = 9
Jawapan
n = 9
5.Matriks & penentu
Jawapan: det A = 277
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −32, M₁₂ = −21, M₁₃ = 19
Pengembangan kofaktor
det A = (−3)·(−32) − 5·(−21) + 4·19 = 277
Jawapan
det A = 277
6.Matriks & penentu
Jawapan: λ = 4
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Persamaan cirian
λ² − (5)λ + (4) = 0
Selesaikan
λ = (5 ± √(9))/2 → λ = 1, 4
λ = 4
Jawapan
λ = 4
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(0.5) = 1.324
Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.
Punca ciri
(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4
Pemalar daripada nilai awal
A + B = 2, −3A − 4B = 4
A = 12, B = −10
Nilaikan
y(0.5) = 12·e−1.5 + (−10)·e−2 = 1.324
Jawapan
y(0.5) = 1.324
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(1.5) = 1.192
Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.