Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Anggarkan ∫02 √x·e−x dx dengan petua trapezium menggunakan n = 6 jalur. Beri T.
f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 6
T =
2.Kaedah berangkaSukar
Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.5 untuk y′ = y(2 − y), y(0) = 0.5 untuk menganggar y5 ≈ y(2.5).
y′ = y(2 − y)y(0) = 0.5h = 0.5
y5 =
3.Jujukan & siriSederhana
Tepat satu daripada empat siri menumpu. Klik siri itu.
Gunakan polinomial Maclaurin berdarjah 4 bagi f(x) = cos(−x) untuk menganggarkan f(−1.5). Beri P₄(−1.5).
f(x) = cos(−x)n = 4x = −1.5
P₄(−1.5) =
5.Matriks & penentuSederhana
Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−2 3 4; 1 −1 −4; −3 4 5]
det A =
6.Matriks & penentuSukar
Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.
A = [6 −1; 2 3]
λ =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Sebuah bahagian keluli tempaan pada 300 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 27 °C. Selepas 45 min suhunya ialah 56 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 39 °C?
T0 = 300 °CTa = 27 °CT(45) = 56 °CT = 39 °C
t = min
8.Persamaan pembezaanSukar
Sebuah tangki mengandungi 1000 L air tulen. Air garam dengan 0.1 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 10 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 20 min?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0.1 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: T = 0.6149
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Kamiran ini tidak mempunyai antiterbitan dasar, dan itulah tepatnya apabila petua berangka diperlukan.
2.Kaedah berangka
Jawapan: y5 = 2
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 0.5 + 0.5·(0.75) = 0.875
y₂ = 0.875 + 0.5·(0.984375) = 1.367188
y₃ = 1.367188 + 0.5·(0.865173) = 1.799774
y₄ = 1.799774 + 0.5·(0.360361) = 1.979955
y₅ = 1.979955 + 0.5·(0.0396886) = 1.999799
Graf
y5 = 2
Jawapan
y5 = 2
Nilai tepat ialah y(2.5) = 1.960373.
3.Jujukan & siri
Jawapan: C: Σ 1/(2ᵏ + k)
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Uji setiap siri
A: Σ (k + 3)/k² → Berkelakuan seperti 1/k untuk k yang besar: mencapah melalui perbandingan dengan siri harmonik.
C: Σ 1/(2ᵏ + k) → Lebih kecil daripada (1/2)ᵏ, siri geometri yang menumpu: menumpu melalui perbandingan.
D: Σ k/(k + 6) → Sebutan menuju 1, bukan 0: mencapah melalui ujian sebutan ke-n.
Jawapannya
C: Σ 1/(2ᵏ + k)
Jawapan
C: Σ 1/(2ᵏ + k)
4.Jujukan & siri
Jawapan: P₄(−1.5) = 0.08594
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Polinomial Maclaurin
P₄(x) = 1 − 0.5x² + 0.04167x⁴
Gantikan
P₄(−1.5) = 1 − 1.125 + 0.210938 = 0.08594
Jawapan
P₄(−1.5) = 0.08594
Nilai tepat ialah f(−1.5) = 0.0707372; ralat −0.0152003 mengecil apabila anda mengambil lebih banyak sebutan atau titik yang lebih dekat dengan 0.
5.Matriks & penentu
Jawapan: det A = 3
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = 11, M₁₂ = −7, M₁₃ = 1
Pengembangan kofaktor
det A = (−2)·11 − 3·(−7) + 4·1 = 3
Jawapan
det A = 3
6.Matriks & penentu
Jawapan: λ = 5
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Persamaan cirian
λ² − (9)λ + (20) = 0
Selesaikan
λ = (9 ± √(1))/2 → λ = 4, 5
λ = 5
Jawapan
λ = 5
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: t = 62.71 min
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Pemalar penyejukan
k = ln(273/29)/45 = 0.04983 min⁻¹
Masa untuk mencapai sasaran
t = ln(273/12)/0.04983 = 62.71 min
Jawapan
t = 62.71 min
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: m = 18.13 kg
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Sediakan persamaan
dm/dt = 10·0.1 − (10/1000)·m = 1 − 0.01·m
Selesaikan
Faktor pengamiran ialah ert/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.