Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Laju sebuah kenderaan diukur setiap 10 s (jadual). Anggarkan jarak s yang dilalui dari t = 0 hingga t = 60 s dengan petua Simpson.
h = 10 sn = 6
s = m
2.Kaedah berangkaSukar
Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.1 untuk y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 untuk menganggar y4 ≈ y(0.4).
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0.1
y4 =
3.Jujukan & siriSederhana
Cari jejari penumpuan R bagi siri kuasa Σk=1∞ 2ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1).
Σ 2ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1)x₀ = 3
R =
4.Jujukan & siriSukar
f(x) = ln(1 + x) dianggarkan oleh polinomial Maclaurin berdarjah 4 pada x = 0.3. Gunakan had ralat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 4! = 24 untuk mencari ralat terbesar yang mungkin |R₄|.
f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0.3M = 24
|R₄| =
5.Matriks & penentuSederhana
Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−3 −2 5; 4 −2 5; 5 −5 1]
det A =
6.Matriks & penentuSukar
Selesaikan sistem −2x − 5y = −12 dan −4x − 3y = 6. Cari x.
−2x − 5y = −12−4x − 3y = 6
x =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Selesaikan y″ + 5y′ + 6y = 0 dengan y(0) = 4 dan y′(0) = -4. Cari y(0.5).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 4y′(0) = -4
y(0.5) =
8.Persamaan pembezaanSukar
Selesaikan y′ + 2y = 4e−0.5t dengan y(0) = 3. Cari y(1).
y′ + 2y = 4e−0.5ty(0) = 3
y(1) =
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: s = 626.7 m
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Hasil tambah berpemberat
7 + 4·7 + 2·12 + 4·14 + 2·12 + 4·10 + 9 = 188
Petua Simpson
s = (10/3)·188 = 626.7 m
Jawapan
s = 626.7 m
2.Kaedah berangka
Jawapan: y4 = 1.474
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 1 + 0.1·(1) = 1.1
y₂ = 1.1 + 0.1·(1.109778) = 1.210978
y₃ = 1.210978 + 0.1·(1.239835) = 1.334961
y₄ = 1.334961 + 0.1·(1.389868) = 1.473948
Graf
y4 = 1.474
Jawapan
y4 = 1.474
3.Jujukan & siri
Jawapan: R = 0.5
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Pekali
ck/ck+1 = (1/2)·(k + 2)/(k + 1) → 0.5
Jejari
R = 0.5
Jawapan
R = 0.5
Ujian nisbah tidak menentukan apa-apa pada kedua-dua titik hujung; ia mesti disemak secara berasingan.
4.Jujukan & siri
Jawapan: |R₄| = 0.000486
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Had pada terbitan
M = 4! = 24
Had Lagrange
|R₄| ≤ 24·0.3⁵/5! = 0.000486
Jawapan
|R₄| = 0.000486
Ralat sebenar lebih kecil: |f(0.3) − P₄(0.3)| = 0.0003893.
5.Matriks & penentu
Jawapan: det A = −161
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = 23, M₁₂ = −21, M₁₃ = −10
Pengembangan kofaktor
det A = (−3)·23 − (−2)·(−21) + 5·(−10) = −161
Jawapan
det A = −161
6.Matriks & penentu
Jawapan: x = −4.714
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Penentu matriks pekali
det A = (−2)·(−3) − (−5)·(−4) = −14
Gantikan lajur x
det Aₓ = (−12)·(−3) − (−5)·6 = 66
x = 66/(−14) = −4.714
Jawapan
x = −4.714
y = 4.286
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(0.5) = 2.051
Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.
Punca ciri
(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3
Pemalar daripada nilai awal
A + B = 4, −2A − 3B = -4
A = 8, B = −4
Nilaikan
y(0.5) = 8·e−1 + (−4)·e−1.5 = 2.051
Jawapan
y(0.5) = 2.051
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(1) = 1.663
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.