Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Anggarkan ∫01 eˣ dx dengan petua trapezium, n = 4, dan bandingkan dengan nilai tepat. Cari ralat mutlak |E| = |T − I|.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
2.Kaedah berangkaSukar
Selesaikan y′ = t − y, y(0) = 2 dengan kaedah Euler dan langkah h = 0.5 sehingga t = 2.5. Penyelesaian tepat ialah y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Cari ralat global |E| = |y(2.5) − y5|.
y′ = t − yy(0) = 2h = 0.5
|E| =
3.Jujukan & siriSederhana
Tepat satu daripada empat siri menumpu. Klik siri itu.
A: Σ k²/2ᵏB: Σ 1/√kC: Σ (1 + 1/k)ᵏD: Σ 3ᵏ/k³
1A: Σ k²/2ᵏ
2B: Σ 1/√k
3C: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4D: Σ 3ᵏ/k³
4.Jujukan & siriSukar
f(x) = cos x dianggarkan oleh polinomial Maclaurin berdarjah 5 pada x = 0.8. Gunakan had ralat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 1 untuk mencari ralat terbesar yang mungkin |R₅|.
f(x) = cos xn = 5x = 0.8M = 1
|R₅| =
5.Matriks & penentuSederhana
Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−4 −1 −3; 2 −3 −3; −5 2 −1]
det A =
6.Matriks & penentuSukar
Selesaikan sistem −3x + 6y = −11 dan 2x + 3y = 5. Cari x.
−3x + 6y = −112x + 3y = 5
x =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Sekaleng minuman bergas pada 3 °C dikeluarkan daripada peti sejuk ke dalam bilik pada 22 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.09 min⁻¹, cari suhunya T selepas 9 min.
T0 = 3 °CTa = 22 °Ck = 0.09 min⁻¹t = 9 min
T = °C
8.Persamaan pembezaanSukar
Selesaikan y″ + 4y′ + 8y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(1.5); sudut dalam radian.
y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: |E| = 0.00894
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y5 = 1.59375
Nilai tepat
y(2.5) = 1.746255
Ralat global
|E| = |1.746255 − 1.59375| = 0.1525
Graf
Jawapan
|E| = 0.1525
Membahagi dua h kira-kira membahagi dua ralat kaedah Euler.
3.Jujukan & siri
Jawapan: A: Σ k²/2ᵏ
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Uji setiap siri
A: Σ k²/2ᵏ → Ujian nisbah: L = 1/2 < 1, menumpu.
B: Σ 1/√k → Siri-p dengan p = 1/2 ≤ 1: mencapah.
C: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Sebutan menuju e, bukan 0: mencapah melalui ujian sebutan ke-n.
D: Σ 3ᵏ/k³ → Ujian nisbah: L = 3 > 1, mencapah.
Jawapannya
A: Σ k²/2ᵏ
Jawapan
A: Σ k²/2ᵏ
4.Jujukan & siri
Jawapan: |R₅| = 0.0003641
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Had pada terbitan
M = 1
Had Lagrange
|R₅| ≤ 1·0.8⁶/6! = 0.0003641
Jawapan
|R₅| = 0.0003641
Ralat sebenar lebih kecil: |f(0.8) − P₅(0.8)| = 0.00036.
5.Matriks & penentu
Jawapan: det A = −20
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = 9, M₁₂ = −17, M₁₃ = −11
Pengembangan kofaktor
det A = (−4)·9 − (−1)·(−17) + (−3)·(−11) = −20
Jawapan
det A = −20
6.Matriks & penentu
Jawapan: x = 3
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Penentu matriks pekali
det A = (−3)·3 − 6·2 = −21
Gantikan lajur x
det Aₓ = (−11)·3 − 6·5 = −63
x = −63/(−21) = 3
Jawapan
x = 3
y = −0.3333
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: T = 13.55 °C
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Penyelesaian hukum penyejukan
T(t) = 22 + (−19)·e−0.09t
Gantikan t
T(9) = 22 + (−19)·0.4449 = 13.55 °C
Jawapan
T = 13.55 °C
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(1.5) = −0.2113
Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.