Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Petua trapezium digunakan untuk ∫02 sin x dx. Ralatnya paling banyak (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 2]. Cari bilangan jalur terkecil n yang menjamin ralat di bawah 0.001.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0.001
n =
2.Kaedah berangkaSukar
Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.5 untuk y′ = −0.5y, y(0) = −1 untuk menganggar y3 ≈ y(1.5).
y′ = −0.5yy(0) = −1h = 0.5
y3 =
3.Jujukan & siriSederhana
Cari hasil tambah S = Σk=1∞ 2/(k(k + 3)).
ak = 2/(k(k + 3))
S =
4.Jujukan & siriSukar
f(x) = sin x dianggarkan pada x = 2 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 1, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 1 × 10⁻⁵.
f(x) = sin xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Matriks & penentuSederhana
Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c11 (baris 1, lajur 1).
A = [4 −5; −4 1]B = [−1 4; −6 −3]
c11 =
6.Matriks & penentuSukar
Selesaikan sistem −3x + 3y = 9 dan 6x + y = 4. Cari x.
−3x + 3y = 96x + y = 4
x =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Secawan kopi pada 86 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 20 °C. Selepas 23 min suhunya ialah 37 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 29 °C?
T0 = 86 °CTa = 20 °CT(23) = 37 °CT = 29 °C
t = min
8.Persamaan pembezaanSukar
Sebuah tangki mengandungi 1000 L air yang di dalamnya terlarut 20 kg garam. Air garam dengan 0.25 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 20 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Selepas berapa minit t tangki mengandungi 181 kg garam?
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0.25 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: n = 26
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Had terbitan kedua
M = |sin(π/2)| = 1
Selesaikan untuk n
n² > 8·1/(12·0.001) = 666.7
n > 25.82 → n = 26
Jawapan
n = 26
2.Kaedah berangka
Jawapan: y3 = −0.4219
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = −1 + 0.5·(0.5) = −0.75
y₂ = −0.75 + 0.5·(0.375) = −0.5625
y₃ = −0.5625 + 0.5·(0.28125) = −0.421875
Graf
y3 = −0.4219
Jawapan
y3 = −0.4219
Nilai tepat ialah y(1.5) = −0.472367.
3.Jujukan & siri
Jawapan: S = 1.222
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Pecahan separa
2/(k(k + 3)) = (2/3)·(1/k − 1/(k + 3))
Batal
S = (2/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1.222
Jawapan
S = 1.222
4.Jujukan & siri
Jawapan: n = 11
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Had untuk n yang meningkat
n = 10: 5.131 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 11: 8.551 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Darjah terkecil
n = 11
Jawapan
n = 11
5.Matriks & penentu
Jawapan: c11 = 26
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Baris darab lajur
c11 = 4·(−1) + (−5)·(−6) = 26
Jawapan
c11 = 26
6.Matriks & penentu
Jawapan: x = 0.1429
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Penentu matriks pekali
det A = (−3)·1 − 3·6 = −21
Gantikan lajur x
det Aₓ = 9·1 − 3·4 = −3
x = −3/(−21) = 0.1429
Jawapan
x = 0.1429
y = 3.143
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: t = 33.78 min
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Pemalar penyejukan
k = ln(66/17)/23 = 0.05898 min⁻¹
Masa untuk mencapai sasaran
t = ln(66/9)/0.05898 = 33.78 min
Jawapan
t = 33.78 min
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: t = 60.2 min
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.