Kaedah Berangka: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kaedah berangka

Pembahagi dua
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Had ralat trapezium
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

  1. Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
  2. Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
  3. Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
  4. Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matriks & penentu

penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.Kaedah berangkaSederhana
t (s)0510152025v (m/s)3546109

Laju sebuah kenderaan diukur setiap 5 s (jadual). Anggarkan jarak s yang dilalui dari t = 0 hingga t = 25 s dengan petua trapezium.

h = 5 sn = 5
s = m
2.Kaedah berangkaSukar
012012ty(0, 2)

Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.5 untuk y′ = cos t − y, y(0) = 2 untuk menganggar y5 ≈ y(2.5).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0.5
y5 =
3.Jujukan & siriSederhana
k|aₖ|¹ᐟᵏ123456789101112

Gunakan ujian punca pada Σk=1∞ ((3k + 6)/(4k + 1))ᵏ. Cari L = lim |ak|1/k.

ak = ((3k + 6)/(4k + 1))ᵏ
L =
4.Jujukan & siriSukar

Cari pekali c₂ bagi (x − 3)² dalam siri Taylor bagi f(x) = ln x di sekitar a = 3.

f(x) = ln xa = 3k = 2
c₂ =
5.Matriks & penentuSederhana
A =5−6−31B =−204−4

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c22 (baris 2, lajur 2).

A = [5 −6; −3 1]B = [−2 0; 4 −4]
c22 =
6.Matriks & penentuSukar
A =−2−5−3−3b =−9−10

Selesaikan sistem −2x − 5y = −9 dan −3x − 3y = −10. Cari x.

−2x − 5y = −9−3x − 3y = −10
x =
7.Persamaan pembezaanSederhana
t (min)T (°C)28Ta​23 °C

Sekaleng minuman bergas pada 5 °C dikeluarkan daripada peti sejuk ke dalam bilik pada 25 °C. Selepas 28 min suhunya ialah 23 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T0 = 5 °CTa = 25 °CT(28) = 23 °C
k = min⁻¹
8.Persamaan pembezaanSukar
xy12(1, 2)y(2) = ?

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 2y/x = 4 bagi x > 0, dengan y(1) = 2. Cari y(2).

y′ + 2y/x = 4y(1) = 2
y(2) =

3Larutan

1.Kaedah berangka

Jawapan: s = 155 m

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Hasil tambah berpemberat

3 + 2·5 + 2·4 + 2·6 + 2·10 + 9 = 62

Petua trapezium

s = (5/2)·62 = 155 m

Jawapan

s = 155 m
2.Kaedah berangka

Jawapan: y5 = 0.02575

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁002−11.510.51.5−0.6224171.188791211.188791−0.6484890.86454731.50.864547−0.793810.467642420.467642−0.8837890.0257476

Langkah Euler

y₁ = 2 + 0.5·(−1) = 1.5
y₂ = 1.5 + 0.5·(−0.622417) = 1.188791
y₃ = 1.188791 + 0.5·(−0.648489) = 0.864547
y₄ = 0.864547 + 0.5·(−0.79381) = 0.467642
y₅ = 0.467642 + 0.5·(−0.883789) = 0.0257476
012012ty

Graf

y5 = 0.02575

Jawapan

y5 = 0.02575
3.Jujukan & siri

Jawapan: L = 0.75

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Punca sebutan

|ak|1/k = (3k + 6)/(4k + 1) → 3/4

Kesimpulan

L = 0.75 < 1

Jawapan

L = 0.75

L < 1, maka siri itu menumpu.

4.Jujukan & siri

Jawapan: c₂ = −0.05556

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Terbitan f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −1/x²

Pekali

c₂ = f⁽²⁾(3)/2! = −1/(3²·2) = −0.05556
c₂ = −0.05556

Jawapan

c₂ = −0.05556
5.Matriks & penentu

Jawapan: c22 = −4

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c22 = (−3)·0 + 1·(−4) = −4

Jawapan

c22 = −4
6.Matriks & penentu

Jawapan: x = 2.556

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Penentu matriks pekali

det A = (−2)·(−3) − (−5)·(−3) = −9

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−9)·(−3) − (−5)·(−10) = −23
x = −23/(−9) = 2.556

Jawapan

x = 2.556
y = 0.7778
7.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.08224 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e−28k = -2/-20

Selesaikan untuk k

k = ln(-20/-2)/28 = 0.08224 min⁻¹

Jawapan

k = 0.08224 min⁻¹
8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 2.833

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e∫2/x dx = x2

Kamirkan

(x2y)′ = 4x2 → x2y = 4x3/3 + C

Syarat awal

2 = 4/3 + C → C = 0.6667

Nilaikan

y(2) = (4·23/3 + 0.6667)/22 = 2.833

Jawapan

y(2) = 2.833

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods