Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Anggarkan ∫02 sin x dx dengan petua Simpson, n = 2, dan bandingkan dengan nilai tepat. Cari ralat mutlak |E| = |S − I|.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
2.Kaedah berangkaSukar
Gunakan kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) dengan h = 0.2 untuk y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 untuk menganggar y3 ≈ y(0.6).
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0.2
y3 =
3.Jujukan & siriSederhana
Tepat satu daripada empat siri menumpu. Klik siri itu.
A: Σ 1/√kB: Σ (−1)ᵏ/kC: Σ k/(k + 6)D: Σ (5/3)ᵏ
1A: Σ 1/√k
2B: Σ (−1)ᵏ/k
3C: Σ k/(k + 6)
4D: Σ (5/3)ᵏ
4.Jujukan & siriSukar
f(x) = eˣ dianggarkan pada x = 1 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 3, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 1 × 10⁻⁵.
f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Matriks & penentuSederhana
Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c22 (baris 2, lajur 2).
A = [0 6; −6 5]B = [2 −4; −4 1]
c22 =
6.Matriks & penentuSukar
Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.
A = [0 1; −3 4]
λ =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Sekaleng minuman bergas pada 4 °C dikeluarkan daripada peti sejuk ke dalam bilik pada 28 °C. Selepas 13 min suhunya ialah 21 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 25 °C?
T0 = 4 °CTa = 28 °CT(13) = 21 °CT = 25 °C
t = min
8.Persamaan pembezaanSukar
Sebuah tangki mengandungi 1000 L air yang di dalamnya terlarut 5 kg garam. Air garam dengan 0.05 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 4 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 70 min?
V = 1000 Lm0 = 5 kgc = 0.05 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: |E| = 0.008914
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Nilai tepat
I = 1.416147
Petua Simpson
S = (1/3)·(0 + 4·0.841471 + 0.909297) = 1.42506
Ralat
|E| = |1.42506 − 1.416147| = 0.008914
Jawapan
|E| = 0.008914
Ralat relatif: 0.6294%.
2.Kaedah berangka
Jawapan: y3 = 0.6799
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Uji setiap siri
A: Σ 1/√k → Siri-p dengan p = 1/2 ≤ 1: mencapah.
B: Σ (−1)ᵏ/k → Berselang-seli, dengan 1/k menurun kepada 0: menumpu (secara bersyarat).
C: Σ k/(k + 6) → Sebutan menuju 1, bukan 0: mencapah melalui ujian sebutan ke-n.
D: Σ (5/3)ᵏ → Geometri dengan r = 5/3 > 1: sebutan membesar, maka ia mencapah.
Jawapannya
B: Σ (−1)ᵏ/k
Jawapan
B: Σ (−1)ᵏ/k
4.Jujukan & siri
Jawapan: n = 8
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Had untuk n yang meningkat
n = 7: 7.44 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 8.267 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Darjah terkecil
n = 8
Jawapan
n = 8
5.Matriks & penentu
Jawapan: c22 = 29
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Baris darab lajur
c22 = (−6)·(−4) + 5·1 = 29
Jawapan
c22 = 29
6.Matriks & penentu
Jawapan: λ = 3
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Persamaan cirian
λ² − (4)λ + (3) = 0
Selesaikan
λ = (4 ± √(4))/2 → λ = 1, 3
λ = 3
Jawapan
λ = 3
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: t = 21.94 min
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Pemalar penyejukan
k = ln(-24/-7)/13 = 0.09478 min⁻¹
Masa untuk mencapai sasaran
t = ln(-24/(−3))/0.09478 = 21.94 min
Jawapan
t = 21.94 min
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: m = 15.99 kg
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Sediakan persamaan
dm/dt = 4·0.05 − (4/1000)·m = 0.2 − 0.004·m
Selesaikan
Faktor pengamiran ialah ert/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.