Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Anggarkan ∫12 1/x dx dengan petua Simpson, n = 2, dan bandingkan dengan nilai tepat. Cari ralat mutlak |E| = |S − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 2
|E| =
2.Kaedah berangkaSukar
Selesaikan y′ = t − y, y(0) = 1 dengan kaedah Euler dan langkah h = 0.2 sehingga t = 0.6. Penyelesaian tepat ialah y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Cari ralat global |E| = |y(0.6) − y3|.
y′ = t − yy(0) = 1h = 0.2
|E| =
3.Jujukan & siriSederhana
Cari jejari penumpuan R bagi siri kuasa Σk=1∞ (1/2)ᵏ·xᵏ/(k + 1).
Σ (1/2)ᵏ·xᵏ/(k + 1)x₀ = 0
R =
4.Jujukan & siriSukar
f(x) = cos x dianggarkan oleh polinomial Maclaurin berdarjah 2 pada x = 1. Gunakan had ralat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 1 untuk mencari ralat terbesar yang mungkin |R₂|.
f(x) = cos xn = 2x = 1M = 1
|R₂| =
5.Matriks & penentuSederhana
Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [4 −5 −4; −5 −4 5; −1 −4 −1]
det A =
6.Matriks & penentuSukar
Selesaikan sistem −6x − 6y = 3 dan 2x − y = −3. Cari x.
−6x − 6y = 32x − y = −3
x =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Selesaikan y″ + 6y′ + 9y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = -1. Cari y(1.5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -1
y(1.5) =
8.Persamaan pembezaanSukar
Selesaikan y′ + 2y = 5e−3t dengan y(0) = 1. Cari y(0.5).
y′ + 2y = 5e−3ty(0) = 1
y(0.5) =
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: |E| = 0.001297
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Nilai tepat
I = 0.693147
Petua Simpson
S = (0.5/3)·(1 + 4·0.666667 + 0.5) = 0.694444
Ralat
|E| = |0.694444 − 0.693147| = 0.001297
Jawapan
|E| = 0.001297
Ralat relatif: 0.1872%.
2.Kaedah berangka
Jawapan: |E| = 0.07362
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y3 = 0.624
Nilai tepat
y(0.6) = 0.697623
Ralat global
|E| = |0.697623 − 0.624| = 0.07362
Graf
Jawapan
|E| = 0.07362
Membahagi dua h kira-kira membahagi dua ralat kaedah Euler.
3.Jujukan & siri
Jawapan: R = 2
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Pekali
ck/ck+1 = (1/(1/2))·(k + 2)/(k + 1) → 2
Jejari
R = 2
Jawapan
R = 2
Ujian nisbah tidak menentukan apa-apa pada kedua-dua titik hujung; ia mesti disemak secara berasingan.
4.Jujukan & siri
Jawapan: |R₂| = 0.1667
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Had pada terbitan
M = 1
Had Lagrange
|R₂| ≤ 1·1³/3! = 0.1667
Jawapan
|R₂| = 0.1667
Ralat sebenar lebih kecil: |f(1) − P₂(1)| = 0.0403.
5.Matriks & penentu
Jawapan: det A = 82
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = 24, M₁₂ = 10, M₁₃ = 16
Pengembangan kofaktor
det A = 4·24 − (−5)·10 + (−4)·16 = 82
Jawapan
det A = 82
6.Matriks & penentu
Jawapan: x = −1.167
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Penentu matriks pekali
det A = (−6)·(−1) − (−6)·2 = 18
Gantikan lajur x
det Aₓ = 3·(−1) − (−6)·(−3) = −21
x = −21/18 = −1.167
Jawapan
x = −1.167
y = 0.6667
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(1.5) = 0.1055
Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.
Punca berganda
(r + 3)² = 0 → r = −3
Pemalar
A = y(0) = 2
y′(0) = B − 3A → B = -1 + 6 = 5
Nilaikan
y(1.5) = (2 + 5·1.5)·e−4.5 = 0.1055
Jawapan
y(1.5) = 0.1055
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(0.5) = 1.092
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.