Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Anggarkan ∫02 eˣ dx dengan petua trapezium, n = 2, dan bandingkan dengan nilai tepat. Cari ralat mutlak |E| = |T − I|.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
2.Kaedah berangkaSukar
Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.2 untuk y′ = 2y, y(0) = −1 untuk menganggar y5 ≈ y(1).
y′ = 2yy(0) = −1h = 0.2
y5 =
3.Jujukan & siriSederhana
Cari jejari penumpuan R bagi siri kuasa Σk=1∞ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏ.
Σ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏx₀ = −2
R =
4.Jujukan & siriSukar
Cari pekali c₃ bagi (x − 1)³ dalam siri Taylor bagi f(x) = ∛x di sekitar a = 1.
f(x) = ∛xa = 1k = 3
c₃ =
5.Matriks & penentuSederhana
Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−1 2 5; −2 5 3; −1 5 −4]
det A =
6.Matriks & penentuSukar
Selesaikan sistem −5x + 5y = 2 dan 6x − y = −3. Cari x.
−5x + 5y = 26x − y = −3
x =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Sebuah bahagian keluli tempaan pada 300 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 29 °C. Selepas 46 min suhunya ialah 72 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 51 °C?
T0 = 300 °CTa = 29 °CT(46) = 72 °CT = 51 °C
t = min
8.Persamaan pembezaanSukar
Satu sistem mematuhi y″ + 4y′ + 29y = 145 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(0.5); sudut dalam radian.
y″ + 4y′ + 29y = 145y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: |E| = 0.5238
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Nilai tepat
I = 6.389056
Petua trapezium
T = (1/2)·(1 + 2·2.718282 + 7.389056) = 6.91281
Ralat
|E| = |6.91281 − 6.389056| = 0.5238
Jawapan
|E| = 0.5238
Ralat relatif: 8.198%.
2.Kaedah berangka
Jawapan: y5 = −5.378
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = −1 + 0.2·(−2) = −1.4
y₂ = −1.4 + 0.2·(−2.8) = −1.96
y₃ = −1.96 + 0.2·(−3.92) = −2.744
y₄ = −2.744 + 0.2·(−5.488) = −3.8416
y₅ = −3.8416 + 0.2·(−7.6832) = −5.37824
Graf
y5 = −5.378
Jawapan
y5 = −5.378
Nilai tepat ialah y(1) = −7.389056.
3.Jujukan & siri
Jawapan: R = 2.718
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Pekali
ck/ck+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e
Jejari
R = 2.718
Jawapan
R = 2.718
Ujian nisbah tidak menentukan apa-apa pada kedua-dua titik hujung; ia mesti disemak secara berasingan.
4.Jujukan & siri
Jawapan: c₃ = 0.06173
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Terbitan f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = 0.3704·x1/3 − 3
Pekali
c₃ = 0.3704·11/3 − 3/3! = 0.06173
c₃ = 0.06173
Jawapan
c₃ = 0.06173
5.Matriks & penentu
Jawapan: det A = −12
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −35, M₁₂ = 11, M₁₃ = −5
Pengembangan kofaktor
det A = (−1)·(−35) − 2·11 + 5·(−5) = −12
Jawapan
det A = −12
6.Matriks & penentu
Jawapan: x = −0.52
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Penentu matriks pekali
det A = (−5)·(−1) − 5·6 = −25
Gantikan lajur x
det Aₓ = 2·(−1) − 5·(−3) = 13
x = 13/(−25) = −0.52
Jawapan
x = −0.52
y = −0.12
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: t = 62.75 min
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Pemalar penyejukan
k = ln(271/43)/46 = 0.04002 min⁻¹
Masa untuk mencapai sasaran
t = ln(271/22)/0.04002 = 62.75 min
Jawapan
t = 62.75 min
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(0.5) = 6.033
Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.