Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Anggarkan ∫02 √(1 + x³) dx dengan petua trapezium menggunakan n = 6 jalur. Beri T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6
T =
2.Kaedah berangkaSukar
Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.1 untuk y′ = t − y, y(0) = 0.5 untuk menganggar y5 ≈ y(0.5).
y′ = t − yy(0) = 0.5h = 0.1
y5 =
3.Jujukan & siriSederhana
Tepat satu daripada empat siri menumpu. Klik siri itu.
A: Σ 3ᵏ/k²B: Σ (7/4)ᵏC: Σ ln k / kD: Σ 2ᵏ/k!
1A: Σ 3ᵏ/k²
2B: Σ (7/4)ᵏ
3C: Σ ln k / k
4D: Σ 2ᵏ/k!
4.Jujukan & siriSukar
Cari pekali c₂ bagi (x − 9)² dalam siri Taylor bagi f(x) = √x di sekitar a = 9.
f(x) = √xa = 9k = 2
c₂ =
5.Matriks & penentuSederhana
Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−2 3 5; −3 −5 −5; −5 −3 2]
det A =
6.Matriks & penentuSukar
Selesaikan sistem 6x − 4y = −7 dan −2x − y = −1. Cari x.
6x − 4y = −7−2x − y = −1
x =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Selesaikan y″ + 6y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 4 dan y′(0) = -4. Cari y(0.5).
y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 4y′(0) = -4
y(0.5) =
8.Persamaan pembezaanSukar
Satu sistem mematuhi y″ + 4y′ + 29y = 29 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(1.5); sudut dalam radian.
y″ + 4y′ + 29y = 29y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: T = 3.26
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Kamiran ini tidak mempunyai antiterbitan dasar, dan itulah tepatnya apabila petua berangka diperlukan.
2.Kaedah berangka
Jawapan: y5 = 0.3857
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 0.5 + 0.1·(−0.5) = 0.45
y₂ = 0.45 + 0.1·(−0.35) = 0.415
y₃ = 0.415 + 0.1·(−0.215) = 0.3935
y₄ = 0.3935 + 0.1·(−0.0935) = 0.38415
y₅ = 0.38415 + 0.1·(0.01585) = 0.385735
Graf
y5 = 0.3857
Jawapan
y5 = 0.3857
Nilai tepat ialah y(0.5) = 0.409796.
3.Jujukan & siri
Jawapan: D: Σ 2ᵏ/k!
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Uji setiap siri
A: Σ 3ᵏ/k² → Ujian nisbah: L = 3 > 1, mencapah.
B: Σ (7/4)ᵏ → Geometri dengan r = 7/4 > 1: sebutan membesar, maka ia mencapah.
C: Σ ln k / k → Lebih besar daripada 1/k untuk k ≥ 3: mencapah melalui perbandingan dengan siri harmonik.
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Terbitan f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = −0.25·x1/2 − 2
Pekali
c₂ = −0.25·91/2 − 2/2! = −0.00463
c₂ = −0.00463
Jawapan
c₂ = −0.00463
5.Matriks & penentu
Jawapan: det A = 63
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −25, M₁₂ = −31, M₁₃ = −16
Pengembangan kofaktor
det A = (−2)·(−25) − 3·(−31) + 5·(−16) = 63
Jawapan
det A = 63
6.Matriks & penentu
Jawapan: x = −0.2143
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Penentu matriks pekali
det A = 6·(−1) − (−4)·(−2) = −14
Gantikan lajur x
det Aₓ = (−7)·(−1) − (−4)·(−1) = 3
x = 3/(−14) = −0.2143
Jawapan
x = −0.2143
y = 1.429
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(0.5) = 2.426
Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.
Punca ciri
(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5
Pemalar daripada nilai awal
A + B = 4, −1A − 5B = -4
A = 4, B = 0
Nilaikan
y(0.5) = 4·e−0.5 + 0·e−2.5 = 2.426
Jawapan
y(0.5) = 2.426
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: y(1.5) = 0.9641
Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.