Kaedah Berangka: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kaedah berangka

Pembahagi dua
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Had ralat trapezium
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

  1. Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
  2. Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
  3. Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
  4. Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

  1. Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
  2. Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
  3. Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
  4. Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matriks & penentu

penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.Kaedah berangkaSederhana
t (s)024681012v (m/s)10131720222729

Laju sebuah kenderaan diukur setiap 2 s (jadual). Anggarkan jarak s yang dilalui dari t = 0 hingga t = 12 s dengan petua Simpson.

h = 2 sn = 6
s = m
2.Kaedah berangkaSukar
00.51−1−0.5ty(0, −1)

Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.25 untuk y′ = −2ty, y(0) = −1 untuk menganggar y4 ≈ y(1).

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0.25
y4 =
3.Jujukan & siriSederhana
kSn​12345678910

Cari hasil tambah S = Σk=17 2/(k(k + 1)).

ak = 2/(k(k + 1))n = 7
S =
4.Jujukan & siriSukar

Cari pekali c₄ bagi (x − 1)⁴ dalam siri Taylor bagi f(x) = ln x di sekitar a = 1.

f(x) = ln xa = 1k = 4
c₄ =
5.Matriks & penentuSederhana
A =−1−5−405−4243

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−1 −5 −4; 0 5 −4; 2 4 3]
det A =
6.Matriks & penentuSukar
A =−616−5b =−3−11

Selesaikan sistem −6x + y = −3 dan 6x − 5y = −11. Cari x.

−6x + y = −36x − 5y = −11
x =
7.Persamaan pembezaanSederhana
t (min)T (°C)51Ta​107 °C264 °C

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 420 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 21 °C. Selepas 51 min suhunya ialah 107 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 264 °C?

T0 = 420 °CTa = 21 °CT(51) = 107 °CT = 264 °C
t = min
8.Persamaan pembezaanSukar
xy12(1, 2)y(2) = ?

Selesaikan masalah nilai awal y′ + y/x = 3x bagi x > 0, dengan y(1) = 2. Cari y(2).

y′ + y/x = 3xy(1) = 2
y(2) =

3Larutan

1.Kaedah berangka

Jawapan: s = 238 m

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Hasil tambah berpemberat

10 + 4·13 + 2·17 + 4·20 + 2·22 + 4·27 + 29 = 357

Petua Simpson

s = (2/3)·357 = 238 m

Jawapan

s = 238 m
2.Kaedah berangka

Jawapan: y4 = −0.4102

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁00−10−110.25−10.5−0.87520.5−0.8750.875−0.6562530.75−0.656250.984375−0.410156

Langkah Euler

y₁ = −1 + 0.25·(0) = −1
y₂ = −1 + 0.25·(0.5) = −0.875
y₃ = −0.875 + 0.25·(0.875) = −0.65625
y₄ = −0.65625 + 0.25·(0.984375) = −0.410156
00.51−1−0.5ty

Graf

y4 = −0.4102

Jawapan

y4 = −0.4102

Nilai tepat ialah y(1) = −0.367879.

3.Jujukan & siri

Jawapan: S = 1.75

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pecahan separa

2/(k(k + 1)) = 2·(1/k − 1/(k + 1))

Batal

S = 2·(1 − 1/8) = 1.75

Jawapan

S = 1.75
4.Jujukan & siri

Jawapan: c₄ = −0.25

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Terbitan f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = −6/x⁴

Pekali

c₄ = f⁽⁴⁾(1)/4! = −6/(1⁴·24) = −0.25
c₄ = −0.25

Jawapan

c₄ = −0.25
5.Matriks & penentu

Jawapan: det A = 49

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 31, M₁₂ = 8, M₁₃ = −10

Pengembangan kofaktor

det A = (−1)·31 − (−5)·8 + (−4)·(−10) = 49

Jawapan

det A = 49
6.Matriks & penentu

Jawapan: x = 1.083

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Penentu matriks pekali

det A = (−6)·(−5) − 1·6 = 24

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−3)·(−5) − 1·(−11) = 26
x = 26/24 = 1.083

Jawapan

x = 1.083
y = 3.5
7.Persamaan pembezaan

Jawapan: t = 16.48 min

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(399/86)/51 = 0.03009 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(399/243)/0.03009 = 16.48 min

Jawapan

t = 16.48 min
8.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 4.5

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e∫1/x dx = x1

Kamirkan

(x1y)′ = 3x2 → x1y = 3x3/3 + C

Syarat awal

2 = 3/3 + C → C = 1

Nilaikan

y(2) = (3·23/3 + 1)/21 = 4.5

Jawapan

y(2) = 4.5

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods