Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Kajian didaftarkan lebih awal (preregistered). Ini bermaksud bahawa:
- APeserta mendaftarkan persetujuan mereka dalam talian
- BKajian telah pun diterbitkan
- CKeputusan disemak dan diluluskan oleh ahli statistik kedua yang bebas sebelum penerbitan
- DHipotesis, kaedah dan pelan analisis direkodkan secara terbuka sebelum pengumpulan data
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik menggunakan soal selidik, temu bual dan pemerhatian untuk mengkaji tekanan di tempat kerja, dan dapatannya selaras. Apakah pendekatan ini dipanggil?
- APelapisan
- BReplikasi
- CPengimbangan balas
- DTriangulasi
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 11, 13, 28, 40, 59, 31.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 165.
μ = 170σ = 5x = 165
z =
5.KebarangkalianSederhana
Sebuah beg mengandungi 3 bebola merah dan 3 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?
3 / 3
P =
6.KebarangkalianSukar
7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 7p = 0.7
P =
7.Taburan normalSederhana
Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 16 daripadanya di bawah 198.4 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 16< 198.4 kg
P =
8.Taburan normalSukar
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 40% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 100 markahσ = 15 markah40%
x = markah
9.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 50 telefon, min 91.5 j, sisihan piawai diketahui 12 j. Model 2: 50 telefon, min 89 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 91.5 hσ₁ = 12 hn₂ = 50x̄₂ = 89 hσ₂ = 13 h90%
had atas = h
10.Selang keyakinanSukar
Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.02?
p = 0.5E = 0.0299%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Min sesuatu populasi dituntut sebagai 100; sisihan piawai populasi diketahui ialah 12. Satu sampel rawak 144 cerapan mempunyai min 101.82. Uji H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100. Cari nilai-p p.
μ₀ = 100σ = 12n = 144x̄ = 101.82H₁: μ > μ₀
p =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 5 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 23. Cari saiz sampel minimum n.
α = 0.05kuasa = 80%δ = 5σ = 23zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 110Σy = 458Σx² = 2510Σy² = 44428Σxy = 10538
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3, 6) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(3, 6)
e =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1202 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua membandingkan kiraan cerapan dalam 4 kategori dengan perkadaran jangkaan yang ditentukan sepenuhnya (tiada parameter dianggarkan daripada data). Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.01.
α = 0.01
χ²crit =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Hipotesis, kaedah dan pelan analisis direkodkan secara terbuka sebelum pengumpulan data
Mengapa ini jawapannya
Pra-pendaftaran memisahkan analisis pengesahan daripada analisis penerokaan dan mengurangkan amalan seperti p-hacking dan HARKing.
Jawapan
D · Hipotesis, kaedah dan pelan analisis direkodkan secara terbuka sebelum pengumpulan data
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Triangulasi
Mengapa ini jawapannya
Triangulasi menggunakan pelbagai kaedah, sumber atau penyelidik. Persetujuan antaranya meningkatkan keyakinan terhadap kesahan dapatan.
Jawapan
D · Triangulasi
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 17.86
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 182/6 = 30.33
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−19.33)² + (−17.33)² + (−2.333)² + 9.667² + 28.67² + 0.6667² = 1595
Sisihan piawai
s = √(1595/5) = 17.86
Jawapan
s = 17.86
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = −1
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (165 − 170)/5 = −1
Jawapan
z = −1
5.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.2
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pengambilan pertama dan kedua
P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0.2
Jawapan
P = 0.2
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.003791
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.37 = 0.0002187
P(X = 1) = 7·0.7·0.36 = 0.003572
Tambahkannya
P = 0.0002187 + 0.003572 = 0.003791
Jawapan
P = 0.003791
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9772
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 192 kg, σT = 0.8·√16 = 3.2 kg
Piawaikan
z = (198.4 − 192)/3.2 = 2
Kebarangkalian
P = Φ(2) = 0.9772
Jawapan
P = 0.9772
8.Taburan normal
Jawapan: x = 103.8 markah
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.6
z daripada jadual
z ≈ 0.25
Kembali kepada unit asal
x = 100 + 0.25·15 = 103.8 markah
Jawapan
x = 103.8 markah
9.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 6.616 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 91.5 − 89 = 2.5
Ralat piawai
SE = √(12²/50 + 13²/50) = 2.502
Margin ralat
E = 1.645·2.502 = 4.116
Selang
2.5 ± 4.116 → [−1.616, 6.616]
Jawapan
had atas = 6.616 h
Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 4148
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 2.576²·0.5·0.5/0.02² = 4147
Bundarkan ke atas
n = 4148
Jawapan
n = 4148
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: p = 0.03438
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik ujian
SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (101.82 − 100)/1 = 1.82
Luas ekor
Φ(1.82) = 0.9656
1 − Φ(1.82) = 0.0344
Nilai-p
p = 0.03438
Jawapan
p = 0.03438
p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 131
Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((1.645 + 0.842)·23/5)² = 130.9
Bundarkan ke atas
n = 131
Jawapan
n = 131
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9788
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 10538 − 110·458/5 = 462
Sxx = 2510 − 110²/5 = 90
Syy = 44428 − 458²/5 = 2475
Pekali korelasi
r = 462/√(90·2475) = 0.9788
Jawapan
r = 0.9788
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −4.343
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 132/6 = 22
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204
Garis regresi
b = 204/70 = 2.914
a = 22 − 2.914·7 = 1.6
ŷ = 1.6 + 2.914·x
Nilai ramalan
ŷ = 1.6 + 2.914·3 = 10.34
Reja
e = 6 − 10.34 = −4.343
Jawapan
e = −4.343
Titik itu terletak di bawah garis.
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 13.35
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
perokok: 40·78/120 = 26, 40·42/120 = 14
bukan perokok: 80·78/120 = 52, 80·42/120 = 28
Statistik khi kuasa dua
χ² = (17 − 26)²/26 + (23 − 14)²/14 + (61 − 52)²/52 + (19 − 28)²/28
χ² = 13.35
Jawapan
χ² = 13.35
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ²crit = 11.35
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = 4 − 1 = 3
Jadual
χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345
Jawapan
χ²crit = 11.345
Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology