Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Dalam taburan normal yang sempurna:
- AMod ialah skor terendah
- BMin sentiasa lebih besar daripada median
- CMin, median dan mod adalah sama
- DKebanyakan skor terletak di hujung
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Selepas menganalisis data, seorang penyelidik menulis pengenalan seolah-olah dapatan yang tidak dijangka telah diramalkan sejak awal. Ini dipanggil:
- APengoperasian
- BPengimbangan balas
- CTaklimat selepas kajian
- DHARKing (menghipotesis selepas keputusan diketahui)
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 24, 52, 32, 49, 22.
n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 50. Cari skor-z z bagi skor 460.
μ = 500σ = 50x = 460
z =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.35, 0.2
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
12 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 12p = 0.2
P =
7.Taburan normalSederhana
X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 735.2 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 735.2 g
P =
8.Taburan normalSukar
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).
μ = 65σ = 10P = 5%
x = markah
9.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 13 item mempunyai min 22.5 dan sisihan piawai s = 16. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.
n = 13x̄ = 22.5s = 1695%t(12) = 2.179
E =
10.Selang keyakinanSukar
Diameter 11 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 1.7 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 10, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 3.247 dan 2.5% terletak di atas 20.483.
n = 11s = 1.7 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 198.9 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198.9s = 5n = 64
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5? Sisihan piawai ialah 10. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 10E = 2.590%
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 6.
n = 6x = 6
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 2002 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.01 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 1603 × 2α = 0.01
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Min, median dan mod adalah sama
Mengapa ini jawapannya
Taburan normal adalah simetri dan berbentuk loceng, maka ketiga-tiga ukuran kecenderungan memusat jatuh di tengah.
Jawapan
C · Min, median dan mod adalah sama
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · HARKing (menghipotesis selepas keputusan diketahui)
Mengapa ini jawapannya
HARKing mempersembahkan keputusan penerokaan sebagai pengesahan, menjadikan dapatan kelihatan lebih teguh daripada sebenarnya. Ia menyumbang kepada krisis replikasi.
Jawapan
D · HARKing (menghipotesis selepas keputusan diketahui)
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 13.97
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 179/5 = 35.8
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−11.8)² + 16.2² + (−3.8)² + 13.2² + (−13.8)² = 780.8
Sisihan piawai
s = √(780.8/4) = 13.97
Jawapan
s = 13.97
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = −0.8
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (460 − 500)/50 = −0.8
Jawapan
z = −0.8
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.34
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.35 + 4·0.2 = 2.4
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.35 + 16·0.2 = 7.1
Varians
Var(X) = 7.1 − 2.4² = 1.34
Jawapan
Var(X) = 1.34
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.2749
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.812 = 0.06872
P(X = 1) = 12·0.2·0.811 = 0.2062
Tambahkannya
P = 0.06872 + 0.2062 = 0.2749
Jawapan
P = 0.2749
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9332
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan hasil tambah
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
Piawaikan
z = (735.2 − 750)/9.849 = −1.5
Ekor atas
P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332
Jawapan
P = 0.9332
8.Taburan normal
Jawapan: x = 48.55 markah
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
Kembali kepada x
x = 65 + −1.645·10 = 48.55 markah
Jawapan
x = 48.55 markah
9.Selang keyakinan
Jawapan: E = 9.67
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 12, t = 2.179
Margin ralat
E = 2.179·16/√13 = 9.67
Jawapan
E = 9.67
10.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 1.188 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 10·1.7² = 28.9
Had bagi σ²
28.9/20.483 = 1.411
28.9/3.247 = 8.901
Had bagi σ
σ = √1.411 = 1.188 µm
Jawapan
σ = 1.188 µm
Selang 95% bagi σ: [1.188, 2.983] µm.
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.76
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625
Statistik ujian
t = (198.9 − 200)/0.625 = −1.76
Jawapan
t = −1.76
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 44
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.645·10/2.5)² = 43.3
Bundarkan ke atas
n = 44
Jawapan
n = 44
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.8969
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 283/5 = 56.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
Syy = Σ(y − ȳ)² = 313.2
Pekali penentuan
r² = 53²/(10·313.2) = 0.8969
Jawapan
r² = 0.8969
Kira-kira 89.69% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 52.82
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 356/6 = 59.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
Garis regresi
b = 228/70 = 3.257
a = 59.33 − 3.257·8 = 33.28
ŷ = 33.28 + 3.257·x
Ramalan
ŷ = 33.28 + 3.257·6 = 52.82
Jawapan
ŷ = 52.82
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 4.861
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
lelaki: 80·140/200 = 56, 80·60/200 = 24
perempuan: 120·140/200 = 84, 120·60/200 = 36
Statistik khi kuasa dua
χ² = (63 − 56)²/56 + (17 − 24)²/24 + (77 − 84)²/84 + (43 − 36)²/36
χ² = 4.861
Jawapan
χ² = 4.861
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 4.8
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
talian 1: 30, 10
talian 2: 30, 10
talian 3: 60, 20
Statistik khi kuasa dua
χ² = (25 − 30)²/30 + (15 − 10)²/10 + (33 − 30)²/30 + (7 − 10)²/10 + (62 − 60)²/60 + (18 − 20)²/20
χ² = 4.8
Keputusan
df = 2, χ²crit = 9.210
4.8 < 9.210
Jawapan
χ² = 4.8
χ² berada di bawah nilai genting, maka H₀ tidak ditolak: tiada bukti yang signifikan tentang hubungan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology