Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Pakar menyemak sama ada item peperiksaan matematik meliputi semua topik dalam sukatan pelajaran. Ini menilai:
- AKesahan ramalan
- BKebolehpercayaan ujian–uji semula
- CKesahan kandungan
- DKesahan ekologi
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Meningkatkan saiz sampel dalam kajian paling langsung:
- AMenghapuskan semua bias daripada sampel
- BMenjamin keputusan yang signifikan secara statistik jika sebarang kesan wujud
- CMeningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar
- DMeningkatkan saiz kesan
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 33, 35, 10, 48, 55, 23.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 25. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 550?
μ = 500σ = 25x = 550
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.05, 0.3, 0.35, 0.3
σ =
6.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €10 untuk dimain. Anda menang €40 dengan kebarangkalian 0.15 dan €200 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €10€40: p = 0.15€200: p = 0.01
E(G) = €
7.Taburan normalSederhana
masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 30.2 dan 38 min? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 32σ = 6x1 = 30.2x2 = 38
P =
8.Taburan normalSukar
Ketinggian X lelaki dan Y wanita dalam satu kumpulan adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 180 cm dan sisihan piawai 10 cm, Y mempunyai min 170 cm dan sisihan piawai 12 cm. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 95% bagi suatu min, berdasarkan 36 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 6.2. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 90% daripada data yang sama?
95%n₁ = 36E₁ = 6.290%
E₂ =
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 32. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 5?
σ = 32E = 599%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 8 pelajar, skor min 29.5, sisihan piawai 3. Kumpulan 2: 6 pelajar, skor min 36.3, sisihan piawai 11. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).
n₁ = 8x̄₁ = 29.5s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 36.3s₂ = 11
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 25 ukuran mempunyai min 97. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.
x̄ = 97σ = 15n = 2590%
U =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 42Σy = 496Σx² = 364Σy² = 44642Σxy = 3974
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 49?
n = 5ŷ = 49
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “syif malam, tiada kecacatan”.
jumlah baris = 60jumlah lajur = 67N = 145
E =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.01 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 1803 × 2α = 0.01
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Kesahan kandungan
Mengapa ini jawapannya
Kesahan kandungan ialah sejauh mana ukuran meliputi semua aspek berkaitan konstruk, biasanya dinilai oleh pakar.
Jawapan
C · Kesahan kandungan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Meningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar
Mengapa ini jawapannya
Sampel lebih besar mengurangkan ralat piawai, meningkatkan kuasa. Ia tidak mengubah saiz kesan sebenar atau menghapuskan bias sistematik.
Jawapan
C · Meningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 16.35
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 204/6 = 34
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−1)² + 1² + (−24)² + 14² + 21² + (−11)² = 1336
Sisihan piawai
s = √(1336/5) = 16.35
Jawapan
s = 16.35
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.02275
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 2
Jadual normal piawai
Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
Jawapan
P = 0.02275
5.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 8.888
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 10·0.05 + 20·0.3 + 30·0.35 + 40·0.3 = 29
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 100·0.05 + 400·0.3 + 900·0.35 + 1600·0.3 = 920
Varians
Var(X) = 920 − 29² = 79
σ = √79 = 8.888
Jawapan
σ = 8.888
6.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = −2 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 30 (p = 0.15), 190 (p = 0.01), −10 (p = 0.84)
Nilai jangkaan
E(G) = 30·0.15 + 190·0.01 − 10·0.84 = −2 €
Jawapan
E(G) = −2 €
Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.4593
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (30.2 − 32)/6 = −0.3
z₂ = (38 − 32)/6 = 1
Luas antara
P = Φ(1) − Φ(−0.3) = 0.8413 − 0.3821 = 0.4593
Jawapan
P = 0.4593
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7389
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
Piawaikan
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
Jawapan
P = 0.7389
9.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 5.204
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(36/36) = 0.8393
Margin baharu
E₂ = 6.2·0.8393 = 5.204
Jawapan
E₂ = 5.204
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 272
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2.576·32/5)² = 271.8
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 272
Jawapan
n = 272
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.688
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians terkumpul
sp² = (7·3² + 5·11²)/12 = 55.67
sp = 7.461
Ralat piawai
SE = 7.461·√(1/8 + 1/6) = 4.029
Statistik ujian
t = (29.5 − 36.3)/4.029 = −1.688
Jawapan
t = −1.688
Dengan df = 12, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.179; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: U = 101.9
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.645·15/√25 = 4.935
Had selang
U = 97 + 4.935 = 101.9
Jawapan
U = 101.9
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9946
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 3974 − 42·496/6 = 502
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 44642 − 496²/6 = 3639
Pekali korelasi
r = 502/√(70·3639) = 0.9946
Jawapan
r = 0.9946
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 1.629
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 269/5 = 53.8
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35
Garis regresi
b = 35/10 = 3.5
a = 53.8 − 3.5·3 = 43.3
ŷ = 43.3 + 3.5·x
Selesaikan untuk x
x = (49 − 43.3)/3.5 = 1.629
Jawapan
x = 1.629
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: E = 27.72
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
E = 60·67/145 = 27.72
Jawapan
E = 27.72
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 36.33
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
loji A: 56, 24
loji B: 42, 18
loji C: 28, 12
Statistik khi kuasa dua
χ² = (73 − 56)²/56 + (7 − 24)²/24 + (37 − 42)²/42 + (23 − 18)²/18 + (16 − 28)²/28 + (24 − 12)²/12
χ² = 36.33
Keputusan
df = 2, χ²crit = 9.210
36.33 > 9.210
Jawapan
χ² = 36.33
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology