Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Kajian didaftarkan lebih awal (preregistered). Ini bermaksud bahawa:
- AKajian telah pun diterbitkan
- BKeputusan disemak dan diluluskan oleh ahli statistik kedua yang bebas sebelum penerbitan
- CHipotesis, kaedah dan pelan analisis direkodkan secara terbuka sebelum pengumpulan data
- DPeserta mendaftarkan persetujuan mereka dalam talian
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik mengukur kesan bunyi bising terhadap tumpuan. Peserta dalam keadaan bising kebetulan diuji pada waktu pagi dan keadaan senyap pada waktu petang. Apakah masalahnya?
- AWaktu dalam sehari ialah pemboleh ubah bersandar
- BWaktu dalam sehari ialah pemboleh ubah pengelirut
- CData berada pada aras nominal
- DKajian mempunyai terlalu banyak keadaan
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 59, 57, 14, 21, 26, 45.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 76.
μ = 70σ = 15x = 76
z =
5.KebarangkalianSederhana
Sebuah beg mengandungi 6 bebola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?
6 / 8
P =
6.KebarangkalianSukar
11 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 11p = 0.3
P =
7.Taburan normalSederhana
Jisim bolt adalah tak bersandar dan normal dengan min 40 g dan sisihan piawai 1.2 g. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 5 daripadanya melebihi 196 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 5> 196 g
P =
8.Taburan normalSukar
masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 97.5% daripadanya (persentil ke-97.5).
μ = 32σ = 6P = 97.5%
x = min
9.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 16 item mempunyai min 11.5 dan sisihan piawai s = 6. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk min.
n = 16x̄ = 11.5s = 690%t(15) = 1.753
E =
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 20. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?
σ = 20E = 390%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 73.13 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73.13s = 8n = 36
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 15 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 22 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 15n₁ = 100x₂ = 22n₂ = 80
z =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “syif siang, besar”.
jumlah baris = 71jumlah lajur = 53N = 114
E =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebebasan khi kuasa dua dijalankan pada jadual kontingensi dengan 2 baris dan 3 lajur (tidak termasuk jumlah). Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?
2 × 3
df =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Hipotesis, kaedah dan pelan analisis direkodkan secara terbuka sebelum pengumpulan data
Mengapa ini jawapannya
Pra-pendaftaran memisahkan analisis pengesahan daripada analisis penerokaan dan mengurangkan amalan seperti p-hacking dan HARKing.
Jawapan
C · Hipotesis, kaedah dan pelan analisis direkodkan secara terbuka sebelum pengumpulan data
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Waktu dalam sehari ialah pemboleh ubah pengelirut
Mengapa ini jawapannya
Kerana bunyi bising dan masa ujian berubah bersama, sebarang perbezaan boleh disebabkan oleh salah satu. Peruntukan rawak masa ujian atau mengekalkan masa tetap akan menghapuskan pengelirut.
Jawapan
B · Waktu dalam sehari ialah pemboleh ubah pengelirut
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 19.26
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 222/6 = 37
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 22² + 20² + (−23)² + (−16)² + (−11)² + 8² = 1854
Sisihan piawai
s = √(1854/5) = 19.26
Jawapan
s = 19.26
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = 0.4
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (76 − 70)/15 = 0.4
Jawapan
z = 0.4
5.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.1648
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pengambilan pertama dan kedua
P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0.1648
Jawapan
P = 0.1648
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.113
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.711 = 0.01977
P(X = 1) = 11·0.3·0.710 = 0.09322
Tambahkannya
P = 0.01977 + 0.09322 = 0.113
Jawapan
P = 0.113
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9319
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 200 g, σT = 1.2·√5 = 2.683 g
Piawaikan
z = (196 − 200)/2.683 = −1.49
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1.49) = 0.9319
Jawapan
P = 0.9319
8.Taburan normal
Jawapan: x = 43.76 min
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
Kembali kepada x
x = 32 + 1.96·6 = 43.76 min
Jawapan
x = 43.76 min
9.Selang keyakinan
Jawapan: E = 2.629
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 15, t = 1.753
Margin ralat
E = 1.753·6/√16 = 2.629
Jawapan
E = 2.629
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 121
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·20/3)² = 120.3
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 121
Jawapan
n = 121
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.403
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333
Statistik ujian
t = (73.13 − 75)/1.333 = −1.403
Jawapan
t = −1.403
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = −2.062
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 15/100 = 0.15
p̂₂ = 22/80 = 0.275
p̂ = 37/180 = 0.2056
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.2056·0.7944·(1/100 + 1/80)) = 0.06062
Statistik ujian
z = (0.15 − 0.275)/0.06062 = −2.062
Jawapan
z = −2.062
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9836
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 323/5 = 64.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180
Syy = Σ(y − ȳ)² = 837.2
Pekali korelasi
r = 180/√(40·837.2) = 0.9836
Jawapan
r = 0.9836
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 31.8
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 105/5 = 21
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Garis regresi
b = 144/40 = 3.6
a = 21 − 3.6·6 = −0.6
ŷ = −0.6 + 3.6·x
Ramalan
ŷ = −0.6 + 3.6·9 = 31.8
Jawapan
ŷ = 31.8
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: E = 33.01
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
E = 71·53/114 = 33.01
Jawapan
E = 33.01
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: df = 2
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
Jawapan
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology