Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Jenis data manakah yang dikumpul dengan soalan terbuka dalam temu bual?
- AData selang
- BData kuantitatif nominal sahaja
- CData kualitatif
- DData nisbah
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
ANOVA sehala yang membandingkan empat kumpulan adalah signifikan. Apakah yang patut dilakukan seterusnya oleh penyelidik untuk mencari kumpulan mana yang berbeza?
- AMenyimpulkan bahawa keempat-empat kumpulan berbeza antara satu sama lain
- BMenjalankan ujian pasca-hoc seperti HSD Tukey
- CMelaporkan keputusan sebagai korelasi
- DMenjalankan ujian khi kuasa dua pada min
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 54, 18, 10, 56, 59.
n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 176?
μ = 170σ = 15x = 176
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.2, 0.25, 0.25
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 10 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?
n = 10p = 0.3k = 4
P =
7.Taburan normalSederhana
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 65 dan 73 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 65σ = 10x1 = 65x2 = 73
P =
8.Taburan normalSukar
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 95% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
9.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 9 item mempunyai min 15.5 dan sisihan piawai s = 2. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.
n = 9x̄ = 15.5s = 290%t(8) = 1.86
had bawah =
10.Selang keyakinanSukar
Diameter 16 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 2.1 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 15, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 6.262 dan 2.5% terletak di atas 27.488.
n = 16s = 2.1 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 117.5 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117.5s = 4n = 25
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 498.6. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.
x̄ = 498.6σ = 4n = 6499%
U =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 6.
n = 6x = 6
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.01 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Data kualitatif
Mengapa ini jawapannya
Soalan terbuka menghasilkan data kualitatif yang kaya yang lebih sukar dianalisis secara statistik berbanding jawapan soalan tertutup.
Jawapan
C · Data kualitatif
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Menjalankan ujian pasca-hoc seperti HSD Tukey
Mengapa ini jawapannya
F yang signifikan menunjukkan bahawa tidak semua min adalah sama. Ujian pasca-hoc atau kontras terancang mengenal pasti pasangan mana yang berbeza sambil mengawal kadar ralat.
Jawapan
B · Menjalankan ujian pasca-hoc seperti HSD Tukey
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 23.43
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 197/5 = 39.4
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 14.6² + (−21.4)² + (−29.4)² + 16.6² + 19.6² = 2195
Sisihan piawai
s = √(2195/4) = 23.43
Jawapan
s = 23.43
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.6554
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 0.4
Jadual normal piawai
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
Jawapan
P = 0.6554
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 5.39
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.3 + 2·0.2 + 4·0.25 + 6·0.25 = 2.9
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.3 + 4·0.2 + 16·0.25 + 36·0.25 = 13.8
Varians
Var(X) = 13.8 − 2.9² = 5.39
Jawapan
Var(X) = 5.39
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.2001
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 4) = 210·0.34·0.76 = 210·0.0081·0.1176 = 0.2001
Jawapan
P = 0.2001
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.2881
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (65 − 65)/10 = 0
z₂ = (73 − 65)/10 = 0.8
Luas antara
P = Φ(0.8) − Φ(0) = 0.7881 − 0.5 = 0.2881
Jawapan
P = 0.2881
8.Taburan normal
Jawapan: x = 241.8 g
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.05
z daripada jadual
z ≈ −1.64
Kembali kepada unit asal
x = 250 − 1.64·5 = 241.8 g
Jawapan
x = 241.8 g
9.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 14.26
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 8, t = 1.86
Margin ralat
E = 1.86·2/√9 = 1.24
Selang
15.5 ± 1.24 → [14.26, 16.74]
Jawapan
had bawah = 14.26
10.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 1.551 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 15·2.1² = 66.15
Had bagi σ²
66.15/27.488 = 2.407
66.15/6.262 = 10.56
Had bagi σ
σ = √2.407 = 1.551 µm
Jawapan
σ = 1.551 µm
Selang 95% bagi σ: [1.551, 3.25] µm.
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −3.125
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
Statistik ujian
t = (117.5 − 120)/0.8 = −3.125
Jawapan
t = −3.125
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: U = 499.9
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 2.576·4/√64 = 1.288
Had selang
U = 498.6 + 1.288 = 499.9
Jawapan
U = 499.9
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.9761
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 114/5 = 22.8
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 50.8
Pekali korelasi
r = −22/√(10·50.8) = −0.9761
Jawapan
r = −0.9761
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 75.83
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 521/6 = 86.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 385
Garis regresi
b = 385/70 = 5.5
a = 86.83 − 5.5·8 = 42.83
ŷ = 42.83 + 5.5·x
Ramalan
ŷ = 42.83 + 5.5·6 = 75.83
Jawapan
ŷ = 75.83
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 12.63
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
syif siang: 80·32/160 = 16, 80·48/160 = 24, 80·80/160 = 40
syif malam: 80·32/160 = 16, 80·48/160 = 24, 80·80/160 = 40
Statistik khi kuasa dua
χ² = (22 − 16)²/16 + (29 − 24)²/24 + (29 − 40)²/40 + (10 − 16)²/16 + (19 − 24)²/24 + (51 − 40)²/40
χ² = 12.63
Jawapan
χ² = 12.63
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 19.31
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
talian 1: 48, 32
talian 2: 36, 24
talian 3: 36, 24
Statistik khi kuasa dua
χ² = (60 − 48)²/48 + (20 − 32)²/32 + (23 − 36)²/36 + (37 − 24)²/24 + (37 − 36)²/36 + (23 − 24)²/24
χ² = 19.31
Keputusan
df = 2, χ²crit = 9.210
19.31 > 9.210
Jawapan
χ² = 19.31
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology