Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Mengapakah kategori tingkah laku dalam pemerhatian dioperasikan sebelum pengumpulan data?
- ASupaya hipotesis boleh diubah selepas data dilihat
- BSupaya peserta tahu dengan tepat apa yang direkodkan
- CSupaya pemerhatian menjadi eksperimen
- DSupaya pemerhati merekod tingkah laku yang sama dengan konsisten, meningkatkan kebolehpercayaan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Kajian mendapati korelasi r = 0.05 antara ketinggian dan IQ dalam pemain bola keranjang profesional sahaja, walaupun ia lebih tinggi dalam populasi umum. Apakah yang terbaik menerangkan korelasi yang lemah itu?
- ARegresi ke min
- BCiri tuntutan
- CKesan siling dalam ujian IQ
- DSekatan julat
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 11, 52, 17, 38, 42, 35, 45.
n = 7
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 58?
μ = 50σ = 8x = 58
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.25, 0.25, 0.2
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 1. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.05, 0.2, 0.3, 0.15Y = −2X + 1
σY =
7.Taburan normalSederhana
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 55.5 dan 80 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 65σ = 10x1 = 55.5x2 = 80
P =
8.Taburan normalSukar
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 80% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 250 gσ = 5 g80%
x = g
9.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 95% bagi suatu min, berdasarkan 50 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 11. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 99% daripada data yang sama?
95%n₁ = 50E₁ = 1199%
E₂ =
10.Selang keyakinanSukar
Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.2 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 95% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.025?
p ≈ 0.2E = 0.02595%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 101.2 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101.2s = 15n = 81
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2? Sisihan piawai ialah 5. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 5E = 290%
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 18?
n = 5ŷ = 18
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 2402 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 2603 × 2α = 0.05
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Supaya pemerhati merekod tingkah laku yang sama dengan konsisten, meningkatkan kebolehpercayaan
Mengapa ini jawapannya
Kategori yang jelas dan boleh diperhatikan (contohnya "memukul dengan tangan terbuka") mengurangkan pertimbangan subjektif dan meningkatkan kebolehpercayaan antara pemerhati.
Jawapan
D · Supaya pemerhati merekod tingkah laku yang sama dengan konsisten, meningkatkan kebolehpercayaan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Sekatan julat
Mengapa ini jawapannya
Apabila sampel hanya meliputi julat sempit suatu pemboleh ubah, korelasi yang melibatkannya berkurang. Pemain bola keranjang semuanya tinggi, maka ketinggian kurang berubah.
Jawapan
D · Sekatan julat
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 14.96
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 240/7 = 34.29
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−23.29)² + 17.71² + (−17.29)² + 3.714² + 7.714² + 0.7143² + 10.71² = 1343
Sisihan piawai
s = √(1343/6) = 14.96
Jawapan
s = 14.96
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.8413
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1
Jadual normal piawai
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 4.91
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.3 + 2·0.25 + 4·0.25 + 6·0.2 = 2.7
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.3 + 4·0.25 + 16·0.25 + 36·0.2 = 12.2
Varians
Var(X) = 12.2 − 2.7² = 4.91
Jawapan
Var(X) = 4.91
6.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 2.931
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 1.95, Var(X) = 2.148, σX = 1.465
Perubahan linear
σY = |−2|·1.465 = 2.931
Jawapan
σY = 2.931
Min memang berubah: E(Y) = −2·1.95 + 1 = −2.9.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7621
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (55.5 − 65)/10 = −0.95
z₂ = (80 − 65)/10 = 1.5
Luas antara
P = Φ(1.5) − Φ(−0.95) = 0.9332 − 0.1711 = 0.7621
Jawapan
P = 0.7621
8.Taburan normal
Jawapan: x = 254.2 g
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.8
z daripada jadual
z ≈ 0.84
Kembali kepada unit asal
x = 250 + 0.84·5 = 254.2 g
Jawapan
x = 254.2 g
9.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 14.46
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(50/50) = 1.314
Margin baharu
E₂ = 11·1.314 = 14.46
Jawapan
E₂ = 14.46
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 984
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 1.96²·0.2·0.8/0.025² = 983.4
Bundarkan ke atas
n = 984
Jawapan
n = 984
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 0.72
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 15/√81 = 15/9 = 1.667
Statistik ujian
t = (101.2 − 100)/1.667 = 0.72
Jawapan
t = 0.72
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 17
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.645·5/2)² = 16.91
Bundarkan ke atas
n = 17
Jawapan
n = 17
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9716
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 364/6 = 60.67
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214
Syy = Σ(y − ȳ)² = 673.3
Pekali penentuan
r² = 214²/(70·673.3) = 0.9716
Jawapan
r² = 0.9716
Kira-kira 97.16% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 7.13
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 77/5 = 15.4
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Garis regresi
b = 92/40 = 2.3
a = 15.4 − 2.3·6 = 1.6
ŷ = 1.6 + 2.3·x
Selesaikan untuk x
x = (18 − 1.6)/2.3 = 7.13
Jawapan
x = 7.13
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 4.689
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
perokok: 120·84/240 = 42, 120·156/240 = 78
bukan perokok: 120·84/240 = 42, 120·156/240 = 78
Statistik khi kuasa dua
χ² = (50 − 42)²/42 + (70 − 78)²/78 + (34 − 42)²/42 + (86 − 78)²/78
χ² = 4.689
Jawapan
χ² = 4.689
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 15.36
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
loji A: 24, 56
loji B: 30, 70
loji C: 24, 56
Statistik khi kuasa dua
χ² = (27 − 24)²/24 + (53 − 56)²/56 + (40 − 30)²/30 + (60 − 70)²/70 + (11 − 24)²/24 + (69 − 56)²/56
χ² = 15.36
Keputusan
df = 2, χ²crit = 5.991
15.36 > 5.991
Jawapan
χ² = 15.36
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology