Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Pakar menyemak sama ada item peperiksaan matematik meliputi semua topik dalam sukatan pelajaran. Ini menilai:
- AKebolehpercayaan ujian–uji semula
- BKesahan kandungan
- CKesahan ekologi
- DKesahan ramalan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Senaman mengurangkan kemurungan, dan kesannya berlaku kerana senaman memperbaik tidur, yang seterusnya menurunkan kemurungan. Tidur paling baik digambarkan sebagai:
- APemboleh ubah luaran
- BPengantara
- CPemboleh ubah kawalan
- DModerator
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 46, 50, 51, 37, 60, 19, 41.
n = 7
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 62.5?
μ = 70σ = 15x = 62.5
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.2, 0.3, 0.2
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 6 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 3 jawapan betul?
n = 6p = 0.2k = 3
P =
7.Taburan normalSederhana
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 88.75 dan 127.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 100σ = 15x1 = 88.75x2 = 127.75
P =
8.Taburan normalSukar
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 97.5% daripadanya (persentil ke-97.5).
μ = 65σ = 10P = 97.5%
x = markah
9.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 95% bagi suatu min, berdasarkan 64 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 3.9. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 99% daripada data yang sama?
95%n₁ = 64E₁ = 3.999%
E₂ =
10.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 9 petak, min hasil 72 kg, sisihan piawai 7 kg. Kumpulan petak 2: 17 petak, min 79.5 kg, sisihan piawai 2.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 9x̄₁ = 72s₁ = 7n₂ = 17x̄₂ = 79.5s₂ = 2.595%t(24) = 2.064
had bawah = kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 104 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 104s = 10n = 36
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 200 terhadap H₁: μ > 200 dijalankan pada α = 0.01 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 12. Pada hakikatnya min ialah 204.05. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 200μ = 204.05σ = 12n = 64α = 0.01
1 − β = %
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 30Σy = 398Σx² = 220Σy² = 33300Σxy = 2636
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 55?
n = 6ŷ = 55
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “syif malam, kecil”.
jumlah baris = 67jumlah lajur = 53N = 143
E =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.01 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 1603 × 2α = 0.01
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Kesahan kandungan
Mengapa ini jawapannya
Kesahan kandungan ialah sejauh mana ukuran meliputi semua aspek berkaitan konstruk, biasanya dinilai oleh pakar.
Jawapan
B · Kesahan kandungan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Pengantara
Mengapa ini jawapannya
Pengantara terletak pada laluan sebab-akibat antara peramal dan hasil, menerangkan bagaimana atau mengapa kesan itu berlaku.
Jawapan
B · Pengantara
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 13.07
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 304/7 = 43.43
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 2.571² + 6.571² + 7.571² + (−6.429)² + 16.57² + (−24.43)² + (−2.429)² = 1026
Sisihan piawai
s = √(1026/6) = 13.07
Jawapan
s = 13.07
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.6915
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.5
Jadual normal piawai
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
Jawapan
P = 0.6915
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.24
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.3 + 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.2 = 1.4
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.2 = 3.2
Varians
Var(X) = 3.2 − 1.4² = 1.24
Jawapan
Var(X) = 1.24
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.08192
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 3) = 20·0.23·0.83 = 20·0.008·0.512 = 0.08192
Jawapan
P = 0.08192
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7412
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (88.75 − 100)/15 = −0.75
z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85
Luas antara
P = Φ(1.85) − Φ(−0.75) = 0.9678 − 0.2266 = 0.7412
Jawapan
P = 0.7412
8.Taburan normal
Jawapan: x = 84.6 markah
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
Kembali kepada x
x = 65 + 1.96·10 = 84.6 markah
Jawapan
x = 84.6 markah
9.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 5.126
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(64/64) = 1.314
Margin baharu
E₂ = 3.9·1.314 = 5.126
Jawapan
E₂ = 5.126
10.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −11.35 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (8·7² + 16·2.5²)/24 = 20.5
sp = 4.528
Margin ralat
E = 2.064·4.528·√(1/9 + 1/17) = 3.852
Selang
−7.5 ± 3.852 → [−11.35, −3.648]
Jawapan
had bawah = −11.35 kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.4
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667
Statistik ujian
t = (104 − 100)/1.667 = 2.4
Jawapan
t = 2.4
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 64.58 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 200 + 2.326·1.5 = 203.5
z di bawah min sebenar
z = (203.5 − 204.05)/1.5 = −0.374
Kuasa
kuasa = P(Z > −0.374) = 64.58%
1 − β = 64.58%
Jawapan
1 − β = 64.58%
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9745
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 2636 − 30·398/5 = 248
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 33300 − 398²/5 = 1619
Pekali korelasi
r = 248/√(40·1619) = 0.9745
Jawapan
r = 0.9745
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 4.418
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 366/6 = 61
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 97
Garis regresi
b = 97/17.5 = 5.543
a = 61 − 5.543·5.5 = 30.51
ŷ = 30.51 + 5.543·x
Selesaikan untuk x
x = (55 − 30.51)/5.543 = 4.418
Jawapan
x = 4.418
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: E = 24.83
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
E = 67·53/143 = 24.83
Jawapan
E = 24.83
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 20.95
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
loji A: 40, 40
loji B: 20, 20
loji C: 20, 20
Statistik khi kuasa dua
χ² = (27 − 40)²/40 + (53 − 40)²/40 + (22 − 20)²/20 + (18 − 20)²/20 + (31 − 20)²/20 + (9 − 20)²/20
χ² = 20.95
Keputusan
df = 2, χ²crit = 9.210
20.95 > 9.210
Jawapan
χ² = 20.95
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology