Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Dalam penyelidikan pemerhatian, pensampelan peristiwa bermaksud:
- AMemilih peserta secara rawak
- BMerekod hanya peristiwa yang dilaporkan peserta
- CMerekod tingkah laku hanya pada selang masa tetap
- DMerekod setiap kali tingkah laku tertentu berlaku
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik membandingkan tiga atau lebih min kumpulan. Mengapakah ANOVA sehala digunakan dan bukannya beberapa ujian-t?
- AUjian-t memerlukan data kualitatif
- BANOVA sentiasa menemui kesan yang lebih besar daripada set ujian-t yang setara
- CBerbilang ujian-t menggembungkan kadar ralat Jenis I keseluruhan
- DUjian-t tidak boleh mengendalikan nombor melebihi 100
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 40, 29, 27, 12, 39.
n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 100. Cari skor-z z bagi skor 560.
μ = 500σ = 100x = 560
z =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.15, 0.35, 0.3
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
12 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 12p = 0.1
P =
7.Taburan normalSederhana
Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 9 daripadanya melebihi 225.8 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 9> 225.8 kg
P =
8.Taburan normalSukar
Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.05 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
lubang: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 21 item mempunyai min 66.5 dan sisihan piawai s = 11. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.
n = 21x̄ = 66.5s = 1195%t(20) = 2.086
E =
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 30. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?
σ = 30E = 2.590%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
9 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah −8.64 dan sisihan piawai beza ialah 9.6. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = −8.64sd = 9.6
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 30 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 45 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 45n₂ = 250
z =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 57?
n = 5ŷ = 57
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1802 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 2403 × 2α = 0.05
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Merekod setiap kali tingkah laku tertentu berlaku
Mengapa ini jawapannya
Pensampelan peristiwa mengira setiap kejadian tingkah laku sasaran. Pensampelan masa merekod apa yang berlaku pada selang tetap, seperti setiap 30 saat.
Jawapan
D · Merekod setiap kali tingkah laku tertentu berlaku
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Berbilang ujian-t menggembungkan kadar ralat Jenis I keseluruhan
Mengapa ini jawapannya
Menjalankan banyak ujian berpasangan menggandakan peluang positif palsu. ANOVA menguji semua kumpulan bersama dan diikuti dengan ujian pasca-hoc yang dibetulkan.
Jawapan
C · Berbilang ujian-t menggembungkan kadar ralat Jenis I keseluruhan
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 11.33
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 147/5 = 29.4
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 10.6² + (−0.4)² + (−2.4)² + (−17.4)² + 9.6² = 513.2
Sisihan piawai
s = √(513.2/4) = 11.33
Jawapan
s = 11.33
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = 0.6
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (560 − 500)/100 = 0.6
Jawapan
z = 0.6
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 118.8
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 10·0.2 + 20·0.15 + 30·0.35 + 40·0.3 = 27.5
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 100·0.2 + 400·0.15 + 900·0.35 + 1600·0.3 = 875
Varians
Var(X) = 875 − 27.5² = 118.8
Jawapan
Var(X) = 118.8
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.659
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.912 = 0.2824
P(X = 1) = 12·0.1·0.911 = 0.3766
Tambahkannya
P = 0.2824 + 0.3766 = 0.659
Jawapan
P = 0.659
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.2981
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 225 kg, σT = 0.5·√9 = 1.5 kg
Piawaikan
z = (225.8 − 225)/1.5 = 0.53
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(0.53) = 0.2981
Jawapan
P = 0.2981
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9772
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm
Piawaikan
z = (0 − 0.05)/0.025 = −2
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−2) = 0.9772
Jawapan
P = 0.9772
9.Selang keyakinan
Jawapan: E = 5.007
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 20, t = 2.086
Margin ralat
E = 2.086·11/√21 = 5.007
Jawapan
E = 5.007
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 390
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·30/2.5)² = 389.7
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 390
Jawapan
n = 390
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −2.7
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ralat piawai bagi min beza
SE = 9.6/√9 = 3.2
Statistik ujian
t = −8.64/3.2 = −2.7
Jawapan
t = −2.7
Dengan df = 8, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.306; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 2.472
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 30/100 = 0.3
p̂₂ = 45/250 = 0.18
p̂ = 75/350 = 0.2143
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.2143·0.7857·(1/100 + 1/250)) = 0.04855
Statistik ujian
z = (0.3 − 0.18)/0.04855 = 2.472
Jawapan
z = 2.472
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.976
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 260/5 = 52
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Syy = Σ(y − ȳ)² = 430
Pekali korelasi
r = 64/√(10·430) = 0.976
Jawapan
r = 0.976
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 5.966
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 271/5 = 54.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Garis regresi
b = 116/40 = 2.9
a = 54.2 − 2.9·5 = 39.7
ŷ = 39.7 + 2.9·x
Selesaikan untuk x
x = (57 − 39.7)/2.9 = 5.966
Jawapan
x = 5.966
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 6
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
ubat baharu: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48
plasebo: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60
Statistik khi kuasa dua
χ² = (24 − 32)²/32 + (56 − 48)²/48 + (48 − 40)²/40 + (52 − 60)²/60
χ² = 6
Jawapan
χ² = 6
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 13.58
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
talian 1: 20, 20
talian 2: 50, 50
talian 3: 50, 50
Statistik khi kuasa dua
χ² = (15 − 20)²/20 + (25 − 20)²/20 + (41 − 50)²/50 + (59 − 50)²/50 + (64 − 50)²/50 + (36 − 50)²/50
χ² = 13.58
Keputusan
df = 2, χ²crit = 5.991
13.58 > 5.991
Jawapan
χ² = 13.58
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology