Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Soal selidik kemurungan baharu meramalkan pelajar mana yang akan mendapatkan rawatan pada tahun depan. Ini menyokong jenis kesahan yang mana?
- AKesahan muka
- BKesahan ramalan
- CKesahan serentak
- DKesahan kandungan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Ujian "kecerdasan" terutamanya mengukur betapa pantas orang boleh menaip. Jenis kesahan manakah yang paling jelas tiada?
- AKetekalan dalaman
- BKesahan konstruk
- CKebolehpercayaan ujian–uji semula
- DKebolehpercayaan antara penilai
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 18, 17, 11, 21, 16.
n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 165?
μ = 170σ = 5x = 165
P =
5.KebarangkalianSederhana
Sebuah beg mengandungi 8 bebola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?
8 / 4
P =
6.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €10 dengan kebarangkalian 0.2 dan €100 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €2€10: p = 0.2€100: p = 0.05
E(G) = €
7.Taburan normalSederhana
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 174.5 dan 190.6 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 178σ = 7x1 = 174.5x2 = 190.6
P =
8.Taburan normalSukar
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 90% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 100 markahσ = 15 markah90%
x = markah
9.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 13 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 7.6 dan sisihan piawai 7.4. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min beza.
n = 13d̄ = 7.6sd = 7.495%t(12) = 2.179
had atas = mmHg
10.Selang keyakinanSukar
Diameter 20 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 8.1 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 19, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 8.907 dan 2.5% terletak di atas 32.852.
n = 20s = 8.1 µmχ² = 8.907, 32.852
σ = µm
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 40 bahagian mempunyai min panjang 135 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 8 mm. Talian 2: sampel 50 bahagian mempunyai min 131.4 mm, sisihan piawai diketahui 19 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).
n₁ = 40x̄₁ = 135 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 50x̄₂ = 131.4 mmσ₂ = 19 mm
z =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 20. Pada hakikatnya min ialah 106. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 100μ = 106σ = 20n = 100α = 0.10
1 − β = %
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 15Σy = 95Σx² = 55Σy² = 1871Σxy = 262
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (5.5, 19) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(5.5, 19)
e =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “syif malam, tiada kecacatan”.
jumlah baris = 91jumlah lajur = 78N = 180
E =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua menyemak sama ada kiraan dalam 6 kategori mengikut taburan Poisson yang puratanya dianggarkan daripada data yang sama. Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?
k = 6
df =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Kesahan ramalan
Mengapa ini jawapannya
Kesahan ramalan ditunjukkan apabila skor meramalkan kriteria kemudian. Kesahan serentak menggunakan kriteria yang diukur pada masa yang sama.
Jawapan
B · Kesahan ramalan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Kesahan konstruk
Mengapa ini jawapannya
Kesahan konstruk ialah sama ada ukuran benar-benar mencerminkan konstruk asas. Ujian boleh dipercayai sambil mengukur perkara yang salah.
Jawapan
B · Kesahan konstruk
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 3.647
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 83/5 = 16.6
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 1.4² + 0.4² + (−5.6)² + 4.4² + (−0.6)² = 53.2
Sisihan piawai
s = √(53.2/4) = 3.647
Jawapan
s = 3.647
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.8413
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −1
Jadual normal piawai
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
5.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.4242
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pengambilan pertama dan kedua
P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0.4242
Jawapan
P = 0.4242
6.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 5 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 8 (p = 0.2), 98 (p = 0.05), −2 (p = 0.75)
Nilai jangkaan
E(G) = 8·0.2 + 98·0.05 − 2·0.75 = 5 €
Jawapan
E(G) = 5 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.6555
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (174.5 − 178)/7 = −0.5
z₂ = (190.6 − 178)/7 = 1.8
Luas antara
P = Φ(1.8) − Φ(−0.5) = 0.9641 − 0.3085 = 0.6555
Jawapan
P = 0.6555
8.Taburan normal
Jawapan: x = 119.2 markah
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.9
z daripada jadual
z ≈ 1.28
Kembali kepada unit asal
x = 100 + 1.28·15 = 119.2 markah
Jawapan
x = 119.2 markah
9.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 12.07 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 12, t = 2.179
Margin ralat
E = 2.179·7.4/√13 = 4.472
Selang
7.6 ± 4.472 → [3.128, 12.07]
Jawapan
had atas = 12.07 mmHg
10.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 11.83 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 19·8.1² = 1247
Had bagi σ²
1247/32.852 = 37.95
1247/8.907 = 140
Had bagi σ
σ = √140 = 11.83 µm
Jawapan
σ = 11.83 µm
Selang 95% bagi σ: [6.16, 11.83] µm.
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 1.212
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Ralat piawai bagi beza
SE = √(8²/40 + 19²/50) = √8.82 = 2.97
Statistik ujian
z = (135 − 131.4)/2.97 = 1.212
Jawapan
z = 1.212
|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 95.71 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 20/√100 = 2
x̄c = 100 + 1.282·2 = 102.6
z di bawah min sebenar
z = (102.6 − 106)/2 = −1.718
Kuasa
kuasa = P(Z > −1.718) = 95.71%
1 − β = 95.71%
Jawapan
1 − β = 95.71%
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.8953
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 262 − 15·95/5 = −23
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1871 − 95²/5 = 66
Pekali korelasi
r = −23/√(10·66) = −0.8953
Jawapan
r = −0.8953
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 4.686
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 114/6 = 19
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41
Garis regresi
b = −41/17.5 = −2.343
a = 19 − (−2.343)·3.5 = 27.2
ŷ = 27.2 − 2.343·x
Nilai ramalan
ŷ = 27.2 + (−2.343)·5.5 = 14.31
Reja
e = 19 − 14.31 = 4.686
Jawapan
e = 4.686
Titik itu terletak di atas garis.
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: E = 39.43
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
E = 91·78/180 = 39.43
Jawapan
E = 39.43
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: df = 4
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = 6 − 1 − 1 = 4
Jawapan
df = 4
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology