Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Pengoperasian (operationalisation) bermaksud:
- AMemilih ujian statistik
- BMentakrifkan pemboleh ubah dengan cara yang tepat dan boleh diukur
- CMenjalankan penyelidikan dalam persekitaran operasi sebenar, seperti hospital
- DMemberi arahan kepada peserta
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik merekod data pada sembilan titik masa dan menguji pada aras 5% setiap kali tanpa pembetulan. Apakah masalahnya?
- ATiada masalah dengan pendekatan ini
- BPeluang sekurang-kurangnya satu positif palsu meningkat jauh melebihi 5%
- CSaiz kesan jatuh dengan setiap ujian
- DData menjadi lebih boleh dipercayai setiap kali, jadi ujian terakhir paling tepat
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 56, 47, 45, 13, 47, 35, 17.
n = 7
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 58?
μ = 50σ = 20x = 58
P =
5.KebarangkalianSederhana
Satu dadu adil digolek 2 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?
n = 2
P =
6.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X − 3. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.2, 0.2, 0.35Y = 10X − 3
σY =
7.Taburan normalSederhana
Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 16 daripadanya melebihi 401 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 16> 401 kg
P =
8.Taburan normalSukar
Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 60 telefon, min 83 j, sisihan piawai diketahui 17 j. Model 2: 50 telefon, min 87.5 j, sisihan piawai diketahui 16 j. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 60x̄₁ = 83 hσ₁ = 17 hn₂ = 50x̄₂ = 87.5 hσ₂ = 16 h99%
had bawah = h
10.Selang keyakinanSukar
Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.3 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.01?
p ≈ 0.3E = 0.0199%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Min sesuatu populasi dituntut sebagai 50; sisihan piawai populasi diketahui ialah 2.5. Satu sampel rawak 25 cerapan mempunyai min 51.08. Uji H₀: μ = 50 terhadap H₁: μ > 50. Cari nilai-p p.
μ₀ = 50σ = 2.5n = 25x̄ = 51.08H₁: μ > μ₀
p =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5? Sisihan piawai ialah 15. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 15E = 2.595%
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 15Σy = 109Σx² = 55Σy² = 2393Σxy = 315
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (6, 76) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 5(6, 76)
e =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebebasan khi kuasa dua dijalankan pada jadual kontingensi dengan 2 baris dan 3 lajur (tidak termasuk jumlah). Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.01.
α = 0.01
χ²crit =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Mentakrifkan pemboleh ubah dengan cara yang tepat dan boleh diukur
Mengapa ini jawapannya
Mengoperasikan pemboleh ubah menukar konsep abstrak kepada ukuran khusus supaya penyelidikan boleh direplikasi.
Jawapan
B · Mentakrifkan pemboleh ubah dengan cara yang tepat dan boleh diukur
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Peluang sekurang-kurangnya satu positif palsu meningkat jauh melebihi 5%
Mengapa ini jawapannya
Dengan sembilan ujian bebas peluang sekurang-kurangnya satu ralat Jenis I ialah kira-kira 1 − 0.95⁹ ≈ 37%. Pembetulan seperti Bonferroni menangani ini.
Jawapan
B · Peluang sekurang-kurangnya satu positif palsu meningkat jauh melebihi 5%
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 16.35
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 260/7 = 37.14
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 18.86² + 9.857² + 7.857² + (−24.14)² + 9.857² + (−2.143)² + (−20.14)² = 1605
Sisihan piawai
s = √(1605/6) = 16.35
Jawapan
s = 16.35
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.3446
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 0.4
Jadual normal piawai
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
Jawapan
P = 0.3446
5.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.3056
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pelengkap
P(tiada enam) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
Jawapan
P = 0.3056
6.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 11.95
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 1.65, Var(X) = 1.428, σX = 1.195
Perubahan linear
σY = |10|·1.195 = 11.95
Jawapan
σY = 11.95
Min memang berubah: E(Y) = 10·1.65 − 3 = 13.5.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.3085
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 400 kg, σT = 0.5·√16 = 2 kg
Piawaikan
z = (401 − 400)/2 = 0.5
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085
Jawapan
P = 0.3085
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8413
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Piawaikan
z = (0 − 10)/10 = −1
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
9.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −12.62 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 83 − 87.5 = −4.5
Ralat piawai
SE = √(17²/60 + 16²/50) = 3.152
Margin ralat
E = 2.576·3.152 = 8.12
Selang
−4.5 ± 8.12 → [−12.62, 3.62]
Jawapan
had bawah = −12.62 h
Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 13936
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 2.576²·0.3·0.7/0.01² = 13935
Bundarkan ke atas
n = 13936
Jawapan
n = 13936
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: p = 0.01539
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik ujian
SE = σ/√n = 2.5/√25 = 0.5
z = (51.08 − 50)/0.5 = 2.16
Luas ekor
Φ(2.16) = 0.9846
1 − Φ(2.16) = 0.0154
Nilai-p
p = 0.01539
Jawapan
p = 0.01539
p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 139
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.96·15/2.5)² = 138.3
Bundarkan ke atas
n = 139
Jawapan
n = 139
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.9258
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 315 − 15·109/5 = −12
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2393 − 109²/5 = 16.8
Pekali korelasi
r = −12/√(10·16.8) = −0.9258
Jawapan
r = −0.9258
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 4.75
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 377/5 = 75.4
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166
Garis regresi
b = 166/40 = 4.15
a = 75.4 − 4.15·7 = 46.35
ŷ = 46.35 + 4.15·x
Nilai ramalan
ŷ = 46.35 + 4.15·6 = 71.25
Reja
e = 76 − 71.25 = 4.75
Jawapan
e = 4.75
Titik itu terletak di atas garis.
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 16.77
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
syif siang: 100·42/140 = 30, 100·42/140 = 30, 100·56/140 = 40
syif malam: 40·42/140 = 12, 40·42/140 = 12, 40·56/140 = 16
Statistik khi kuasa dua
χ² = (35 − 30)²/30 + (20 − 30)²/30 + (45 − 40)²/40 + (7 − 12)²/12 + (22 − 12)²/12 + (11 − 16)²/16
χ² = 16.77
Jawapan
χ² = 16.77
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ²crit = 9.21
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
Jadual
χ²crit(df = 2, α = 0.01) = 9.210
Jawapan
χ²crit = 9.210
Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology