Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana

Kajian yang dijalankan hanya dengan pelajar sarjana muda Amerika mungkin kekurangan:

AKesahan kandungan
BKesahan populasi
CKetekalan dalaman
DKebolehpercayaan antara penilai

2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar

Seorang penyelidik menjalankan lima ujian-t dan mahu mengekalkan kadar ralat Jenis I keseluruhan pada 0.05 menggunakan pembetulan Bonferroni. Apakah aras signifikan yang patut digunakan oleh setiap ujian?

A0.25
B0.01
C0.05
D0.025

3.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 59, 57, 14, 39, 43, 21, 28.

n = 7

s =

4.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 75. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 575?

μ = 500σ = 75x = 575

P =

5.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.2, 0.15

σ =

6.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 1. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.2, 0.25, 0.05, 0.15Y = 5X + 1

σ_Y =

7.Taburan normalSederhana

Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 4 daripadanya di bawah 50.4 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4< 50.4 kg

P =

8.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 60% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah60%

x = markah

9.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 item mempunyai min 111 dan sisihan piawai s = 14.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.

n = 16x̄ = 111s = 14.590%t(15) = 1.753

had bawah =

10.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 16. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 16E = 2.590%

n =

11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 193.3 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 193.3s = 15n = 16

t =

12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 150 daripada 300 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 52 daripada 120 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 300x₂ = 52n₂ = 120

z =

13.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

14.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (7, 24) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(7, 24)

e =

15.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 2202 × 3

χ² =

16.Ujian khi kuasa duaSukar

Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.01 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.

N = 1803 × 2α = 0.01

χ² =

3Larutan

1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi

Jawapan: B · Kesahan populasi

Mengapa ini jawapannya

Kesahan populasi ialah sejenis kesahan luaran. Sampel yang kebanyakannya muda, Barat dan berpendidikan mungkin tidak mewakili orang lain.

Jawapan

B · Kesahan populasi

2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi

Jawapan: B · 0.01

Mengapa ini jawapannya

Pembetulan Bonferroni membahagikan α dengan bilangan perbandingan: 0.05 / 5 = 0.01. Ia mudah tetapi konservatif, yang meningkatkan risiko ralat Jenis II.

Jawapan

B · 0.01

3.Statistik perihalan

Jawapan: s = 17.27

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 261/7 = 37.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 21.71² + 19.71² + (−23.29)² + 1.714² + 5.714² + (−16.29)² + (−9.286)² = 1789

Sisihan piawai

s = √(1789/6) = 17.27

Jawapan

s = 17.27

4.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8413

Piawaikan

z = 1

Jadual normal piawai

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

5.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.424

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.25 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.2 + 5·0.15 = 2.65

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.2 + 25·0.15 = 9.05

Varians

Var(X) = 9.05 − 2.65² = 2.027

σ = √2.027 = 1.424

Jawapan

σ = 1.424

6.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 6.978

Serakan X

μ = 2.45, Var(X) = 1.947, σ_X = 1.396

Perubahan linear

σ_Y = |5|·1.396 = 6.978

Jawapan

σ_Y = 6.978

Min memang berubah: E(Y) = 5·2.45 + 1 = 13.25.

7.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9332

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 48 kg, σ_T = 0.8·√4 = 1.6 kg

Piawaikan

z = (50.4 − 48)/1.6 = 1.5

Kebarangkalian

P = Φ(1.5) = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332

8.Taburan normal

Jawapan: x = 96.3 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.4

z daripada jadual

z ≈ −0.25

Kembali kepada unit asal

x = 100 − 0.25·15 = 96.3 markah

Jawapan

x = 96.3 markah

9.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 104.6

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 1.753

Margin ralat

E = 1.753·14.5/√16 = 6.355

Selang

111 ± 6.355 → [104.6, 117.4]

Jawapan

had bawah = 104.6

10.Selang keyakinan

Jawapan: n = 111

Selesaikan untuk n

n = (1.645·16/2.5)² = 110.8

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 111

Jawapan

n = 111

11.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.787

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

Statistik ujian

t = (193.3 − 200)/3.75 = −1.787

Jawapan

t = −1.787

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

12.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 1.235

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 150/300 = 0.5

p̂₂ = 52/120 = 0.4333

p̂ = 202/420 = 0.481

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.481·0.519·(1/300 + 1/120)) = 0.05397

Statistik ujian

z = (0.5 − 0.4333)/0.05397 = 1.235

Jawapan

z = 1.235

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

13.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9594

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 124/6 = 20.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 99.33

Pekali korelasi

r = −40/√(17.5·99.33) = −0.9594

Jawapan

r = −0.9594

14.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.833

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 127/6 = 21.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 213

Garis regresi

b = 213/70 = 3.043

a = 21.17 − 3.043·7 = −0.1333

ŷ = −0.1333 + 3.043·x

Nilai ramalan

ŷ = −0.1333 + 3.043·7 = 21.17

Reja

e = 24 − 21.17 = 2.833

Jawapan

e = 2.833

Titik itu terletak di atas garis.

15.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 1.839

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

pelajar: 100·44/220 = 20, 100·66/220 = 30, 100·110/220 = 50

kakitangan: 120·44/220 = 24, 120·66/220 = 36, 120·110/220 = 60

Statistik khi kuasa dua

χ² = (23 − 20)²/20 + (26 − 30)²/30 + (51 − 50)²/50 + (21 − 24)²/24 + (40 − 36)²/36 + (59 − 60)²/60

χ² = 1.839

Jawapan

χ² = 1.839

df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.

16.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 84.75

Kiraan jangkaan

loji A: 30, 10

loji B: 75, 25

loji C: 30, 10

Statistik khi kuasa dua

χ² = (29 − 30)²/30 + (11 − 10)²/10 + (97 − 75)²/75 + (3 − 25)²/25 + (9 − 30)²/30 + (31 − 10)²/10

χ² = 84.75

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 9.210

84.75 > 9.210

Jawapan

χ² = 84.75

χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology