Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Seorang penyelidik membandingkan keagresifan kanak-kanak sebelum dan selepas televisyen tiba di sebuah pekan terpencil. Penyelidik tidak mengawal ketibaan televisyen. Ini ialah:
- AEksperimen makmal
- BEksperimen lapangan
- CEksperimen semula jadi
- DTinjauan korelasi tontonan televisyen
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik membandingkan tiga atau lebih min kumpulan. Mengapakah ANOVA sehala digunakan dan bukannya beberapa ujian-t?
- ABerbilang ujian-t menggembungkan kadar ralat Jenis I keseluruhan
- BUjian-t tidak boleh mengendalikan nombor melebihi 100
- CANOVA sentiasa menemui kesan yang lebih besar daripada set ujian-t yang setara
- DUjian-t memerlukan data kualitatif
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 14, 22, 15, 53, 49, 32.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 140?
μ = 170σ = 15x = 140
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.25, 0.2, 0.3
σ =
6.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 6 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.4, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 3 jawapan betul?
n = 6p = 0.4k = 3
P =
7.Taburan normalSederhana
Jisim penumpang dengan bagasi adalah tak bersandar dan normal dengan min 85 kg dan sisihan piawai 12 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 5 daripadanya melebihi 438.4 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 438.4 kg
P =
8.Taburan normalSukar
Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.04 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
lubang: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 40 telefon, min 62 j, sisihan piawai diketahui 5 j. Model 2: 60 telefon, min 53.5 j, sisihan piawai diketahui 19 j. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 62 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 53.5 hσ₂ = 19 h99%
had atas = h
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 14. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 4?
σ = 14E = 499%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Min sesuatu populasi dituntut sebagai 100; sisihan piawai populasi diketahui ialah 12.5. Satu sampel rawak 25 cerapan mempunyai min 95. Uji H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ < 100. Cari nilai-p p.
μ₀ = 100σ = 12.5n = 25x̄ = 95H₁: μ < μ₀
p =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ < 500 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 36; sisihan piawai diketahui ialah 12. Pada hakikatnya min ialah 496.6. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.
μ₀ = 500μ = 496.6σ = 12n = 36α = 0.10
β = %
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 6
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 4.5.
n = 6x = 4.5
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua membandingkan kiraan cerapan dalam 7 kategori dengan perkadaran jangkaan yang ditentukan sepenuhnya (tiada parameter dianggarkan daripada data). Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?
k = 7
df =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Eksperimen semula jadi
Mengapa ini jawapannya
Dalam eksperimen semula jadi IV berubah kerana peristiwa di luar kawalan penyelidik. Kesahan ekologi tinggi, tetapi peruntukan rawak tidak mungkin.
Jawapan
C · Eksperimen semula jadi
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Berbilang ujian-t menggembungkan kadar ralat Jenis I keseluruhan
Mengapa ini jawapannya
Menjalankan banyak ujian berpasangan menggandakan peluang positif palsu. ANOVA menguji semua kumpulan bersama dan diikuti dengan ujian pasca-hoc yang dibetulkan.
Jawapan
A · Berbilang ujian-t menggembungkan kadar ralat Jenis I keseluruhan
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 16.94
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 185/6 = 30.83
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−16.83)² + (−8.833)² + (−15.83)² + 22.17² + 18.17² + 1.167² = 1435
Sisihan piawai
s = √(1435/5) = 16.94
Jawapan
s = 16.94
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.9772
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −2
Jadual normal piawai
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
Jawapan
P = 0.9772
5.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.161
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.3 = 2.55
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.3 = 7.85
Varians
Var(X) = 7.85 − 2.55² = 1.348
σ = √1.348 = 1.161
Jawapan
σ = 1.161
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.2765
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 3) = 20·0.43·0.63 = 20·0.064·0.216 = 0.2765
Jawapan
P = 0.2765
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.3085
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26.83 kg
Piawaikan
z = (438.4 − 425)/26.83 = 0.5
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085
Jawapan
P = 0.3085
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9633
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm
Piawaikan
z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633
Jawapan
P = 0.9633
9.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 15.14 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 62 − 53.5 = 8.5
Ralat piawai
SE = √(5²/40 + 19²/60) = 2.577
Margin ralat
E = 2.576·2.577 = 6.639
Selang
8.5 ± 6.639 → [1.861, 15.14]
Jawapan
had atas = 15.14 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 82
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2.576·14/4)² = 81.29
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 82
Jawapan
n = 82
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: p = 0.02275
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik ujian
SE = σ/√n = 12.5/√25 = 2.5
z = (95 − 100)/2.5 = −2
Luas ekor
Φ(2) = 0.9772
1 − Φ(2) = 0.0228
Nilai-p
p = 0.02275
Jawapan
p = 0.02275
p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: β = 33.8 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 500 − 1.282·2 = 497.4
z di bawah min sebenar
z = (497.4 − 496.6)/2 = 0.418
Ralat Jenis II
kuasa = P(Z < 0.418) = 66.2%
β = 100% − 66.2% = 33.8%
Jawapan
β = 33.8%
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.9696
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 95/6 = 15.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94.83
Pekali korelasi
r = −39.5/√(17.5·94.83) = −0.9696
Jawapan
r = −0.9696
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 76.33
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 458/6 = 76.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 139
Garis regresi
b = 139/17.5 = 7.943
a = 76.33 − 7.943·4.5 = 40.59
ŷ = 40.59 + 7.943·x
Ramalan
ŷ = 40.59 + 7.943·4.5 = 76.33
Jawapan
ŷ = 76.33
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 35.84
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
syif siang: 100·70/140 = 50, 100·35/140 = 25, 100·35/140 = 25
syif malam: 40·70/140 = 20, 40·35/140 = 10, 40·35/140 = 10
Statistik khi kuasa dua
χ² = (66 − 50)²/50 + (17 − 25)²/25 + (17 − 25)²/25 + (4 − 20)²/20 + (18 − 10)²/10 + (18 − 10)²/10
χ² = 35.84
Jawapan
χ² = 35.84
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: df = 6
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = 7 − 1 = 6
Jawapan
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology