Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Statistik manakah yang sesuai untuk hubungan antara dua set pangkat, seperti ranking lukisan oleh juri?
- Ar Pearson
- BKhi kuasa dua
- CUjian-t bebas
- DRho Spearman
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Ukuran saiz kesan seperti d Cohen dilaporkan kerana ia:
- AMenggantikan keperluan untuk sebarang hipotesis
- BMemberitahu berapa ramai peserta yang berhenti
- CMenunjukkan sama ada keputusan signifikan secara statistik pada aras alfa yang dipilih
- DMenunjukkan sebesar mana kesan, tanpa mengira saiz sampel
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 51, 43, 60, 36, 59, 51, 11.
n = 7
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 100. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 560?
μ = 500σ = 100x = 560
P =
5.KebarangkalianSederhana
Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 2 orang boleh dipilih daripada kumpulan 12? Susunan tidak penting.
n = 12k = 2
N =
6.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 10. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.3, 0.3, 0.3Y = 0.5X + 10
σY =
7.Taburan normalSederhana
X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 762.3 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762.3 g
P =
8.Taburan normalSukar
Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 30 telefon, min 123.5 j, sisihan piawai diketahui 12 j. Model 2: 40 telefon, min 110 j, sisihan piawai diketahui 15 j. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 123.5 hσ₁ = 12 hn₂ = 40x̄₂ = 110 hσ₂ = 15 h99%
had bawah = h
10.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 9 petak, min hasil 75.5 kg, sisihan piawai 10 kg. Kumpulan petak 2: 22 petak, min 72.5 kg, sisihan piawai 1 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 9x̄₁ = 75.5s₁ = 10n₂ = 22x̄₂ = 72.5s₂ = 195%t(29) = 2.045
had atas = kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
6 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 1.91 dan sisihan piawai beza ialah 2.6. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 1.91sd = 2.6
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5? Sisihan piawai ialah 10. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 10E = 1.590%
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 20?
n = 6ŷ = 20
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1002 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua membandingkan kiraan cerapan dalam 10 kategori dengan perkadaran jangkaan yang ditentukan sepenuhnya (tiada parameter dianggarkan daripada data). Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?
k = 10
df =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Rho Spearman
Mengapa ini jawapannya
Korelasi pangkat Spearman mengukur kekuatan hubungan monotonik antara dua pemboleh ubah berpangkat atau ordinal.
Jawapan
D · Rho Spearman
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Menunjukkan sebesar mana kesan, tanpa mengira saiz sampel
Mengapa ini jawapannya
Dengan sampel besar kesan yang kecil pun boleh signifikan. Saiz kesan menyatakan magnitud perbezaan, contohnya d = 0.2 kecil, 0.5 sederhana, 0.8 besar.
Jawapan
D · Menunjukkan sebesar mana kesan, tanpa mengira saiz sampel
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 16.99
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 311/7 = 44.43
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 6.571² + (−1.429)² + 15.57² + (−8.429)² + 14.57² + 6.571² + (−33.43)² = 1732
Sisihan piawai
s = √(1732/6) = 16.99
Jawapan
s = 16.99
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.7257
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 0.6
Jadual normal piawai
Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
Jawapan
P = 0.7257
5.Kebarangkalian
Jawapan: N = 66
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Gabungan
C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66
Jawapan
N = 66
6.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 0.4899
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 2.8, Var(X) = 0.96, σX = 0.9798
Perubahan linear
σY = |0.5|·0.9798 = 0.4899
Jawapan
σY = 0.4899
Min memang berubah: E(Y) = 0.5·2.8 + 10 = 11.4.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.1056
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan hasil tambah
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
Piawaikan
z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25
Ekor atas
P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056
Jawapan
P = 0.1056
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7881
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Piawaikan
z = (0 − 4)/5 = −0.8
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
9.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 5.183 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 123.5 − 110 = 13.5
Ralat piawai
SE = √(12²/30 + 15²/40) = 3.229
Margin ralat
E = 2.576·3.229 = 8.317
Selang
13.5 ± 8.317 → [5.183, 21.82]
Jawapan
had bawah = 5.183 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
10.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 7.305 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (8·10² + 21·1²)/29 = 28.31
sp = 5.321
Margin ralat
E = 2.045·5.321·√(1/9 + 1/22) = 4.305
Selang
3 ± 4.305 → [−1.305, 7.305]
Jawapan
had atas = 7.305 kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 1.799
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ralat piawai bagi min beza
SE = 2.6/√6 = 1.061
Statistik ujian
t = 1.91/1.061 = 1.799
Jawapan
t = 1.799
Dengan df = 5, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.571; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 121
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.645·10/1.5)² = 120.3
Bundarkan ke atas
n = 121
Jawapan
n = 121
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.7032
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 122/6 = 20.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 29.33
Pekali penentuan
r² = −19²/(17.5·29.33) = 0.7032
Jawapan
r² = 0.7032
Kira-kira 70.32% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 5.028
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 168/6 = 28
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284
Garis regresi
b = 284/70 = 4.057
a = 28 − 4.057·7 = −0.4
ŷ = −0.4 + 4.057·x
Selesaikan untuk x
x = (20 − (−0.4))/4.057 = 5.028
Jawapan
x = 5.028
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 18.32
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
lelaki: 60·65/100 = 39, 60·35/100 = 21
perempuan: 40·65/100 = 26, 40·35/100 = 14
Statistik khi kuasa dua
χ² = (29 − 39)²/39 + (31 − 21)²/21 + (36 − 26)²/26 + (4 − 14)²/14
χ² = 18.32
Jawapan
χ² = 18.32
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: df = 9
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = 10 − 1 = 9
Jawapan
df = 9
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology