Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Dalam analisis kandungan, kebolehpercayaan antara penilai disemak dengan:
- AMeminta dua penyelidik mengekod bahan yang sama dan membandingkan keputusan
- BBertanya kepada peserta selepas itu sama ada pengekodan penyelidik terhadap bahan mereka betul
- CMengekod bahan dua kali dalam sehari
- DMenggunakan sampel bahan yang lebih besar
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Selepas menganalisis data, seorang penyelidik menulis pengenalan seolah-olah dapatan yang tidak dijangka telah diramalkan sejak awal. Ini dipanggil:
- APengoperasian
- BTaklimat selepas kajian
- CHARKing (menghipotesis selepas keputusan diketahui)
- DPengimbangan balas
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 53, 55, 50, 32, 28.
n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 112?
μ = 100σ = 8x = 112
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.2, 0.2
σ =
6.KebarangkalianSukar
8 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 8p = 0.5
P =
7.Taburan normalSederhana
masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 32 dan 39.5 min? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 39.5
P =
8.Taburan normalSukar
masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 80% daripadanya (persentil ke-80).
μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
9.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 20 item mempunyai min 117 dan sisihan piawai s = 12. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.
n = 20x̄ = 117s = 1290%t(19) = 1.729
had atas =
10.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 8 petak, min hasil 64.5 kg, sisihan piawai 4 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 66 kg, sisihan piawai 8.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 8x̄₁ = 64.5s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 66s₂ = 8.595%t(14) = 2.145
had bawah = kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 48.88 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48.88s = 4n = 25
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 4 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 13. Cari saiz sampel minimum n.
α = 0.05kuasa = 80%δ = 4σ = 13zα = 1.645zβ = 0.842
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.5.
n = 6x = 3.5
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 1803 × 2α = 0.05
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Meminta dua penyelidik mengekod bahan yang sama dan membandingkan keputusan
Mengapa ini jawapannya
Jika pengekod bebas menghasilkan kod yang serupa untuk data yang sama (persetujuan atau korelasi tinggi), skema pengekodan itu boleh dipercayai.
Jawapan
A · Meminta dua penyelidik mengekod bahan yang sama dan membandingkan keputusan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · HARKing (menghipotesis selepas keputusan diketahui)
Mengapa ini jawapannya
HARKing mempersembahkan keputusan penerokaan sebagai pengesahan, menjadikan dapatan kelihatan lebih teguh daripada sebenarnya. Ia menyumbang kepada krisis replikasi.
Jawapan
C · HARKing (menghipotesis selepas keputusan diketahui)
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 12.62
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 218/5 = 43.6
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 9.4² + 11.4² + 6.4² + (−11.6)² + (−15.6)² = 637.2
Sisihan piawai
s = √(637.2/4) = 12.62
Jawapan
s = 12.62
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.06681
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1.5
Jadual normal piawai
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
Jawapan
P = 0.06681
5.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 10.62
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 10·0.25 + 20·0.35 + 30·0.2 + 40·0.2 = 23.5
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 100·0.25 + 400·0.35 + 900·0.2 + 1600·0.2 = 665
Varians
Var(X) = 665 − 23.5² = 112.8
σ = √112.8 = 10.62
Jawapan
σ = 10.62
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.03516
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.58 = 0.003906
P(X = 1) = 8·0.5·0.57 = 0.03125
Tambahkannya
P = 0.003906 + 0.03125 = 0.03516
Jawapan
P = 0.03516
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.3944
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (39.5 − 32)/6 = 1.25
Luas antara
P = Φ(1.25) − Φ(0) = 0.8944 − 0.5 = 0.3944
Jawapan
P = 0.3944
8.Taburan normal
Jawapan: x = 37.05 min
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
Kembali kepada x
x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min
Jawapan
x = 37.05 min
9.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 121.6
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 19, t = 1.729
Margin ralat
E = 1.729·12/√20 = 4.639
Selang
117 ± 4.639 → [112.4, 121.6]
Jawapan
had atas = 121.6
10.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −8.624 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (7·4² + 7·8.5²)/14 = 44.13
sp = 6.643
Margin ralat
E = 2.145·6.643·√(1/8 + 1/8) = 7.124
Selang
−1.5 ± 7.124 → [−8.624, 5.624]
Jawapan
had bawah = −8.624 kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.4
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
Statistik ujian
t = (48.88 − 50)/0.8 = −1.4
Jawapan
t = −1.4
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 66
Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((1.645 + 0.842)·13/4)² = 65.33
Bundarkan ke atas
n = 66
Jawapan
n = 66
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9843
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 340/5 = 68
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1016
Pekali penentuan
r² = 200²/(40·1016) = 0.9843
Jawapan
r² = 0.9843
Kira-kira 98.43% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 33.5
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 201/6 = 33.5
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32.5
Garis regresi
b = 32.5/17.5 = 1.857
a = 33.5 − 1.857·3.5 = 27
ŷ = 27 + 1.857·x
Ramalan
ŷ = 27 + 1.857·3.5 = 33.5
Jawapan
ŷ = 33.5
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 15.73
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
pelajar: 120·80/160 = 60, 120·40/160 = 30, 120·40/160 = 30
kakitangan: 40·80/160 = 20, 40·40/160 = 10, 40·40/160 = 10
Statistik khi kuasa dua
χ² = (50 − 60)²/60 + (32 − 30)²/30 + (38 − 30)²/30 + (30 − 20)²/20 + (8 − 10)²/10 + (2 − 10)²/10
χ² = 15.73
Jawapan
χ² = 15.73
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 25.22
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
loji A: 45, 15
loji B: 60, 20
loji C: 30, 10
Statistik khi kuasa dua
χ² = (32 − 45)²/45 + (28 − 15)²/15 + (65 − 60)²/60 + (15 − 20)²/20 + (38 − 30)²/30 + (2 − 10)²/10
χ² = 25.22
Keputusan
df = 2, χ²crit = 5.991
25.22 > 5.991
Jawapan
χ² = 25.22
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology