Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Soal selidik kemurungan baharu meramalkan pelajar mana yang akan mendapatkan rawatan pada tahun depan. Ini menyokong jenis kesahan yang mana?
- AKesahan ramalan
- BKesahan muka
- CKesahan serentak
- DKesahan kandungan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Meningkatkan saiz sampel dalam kajian paling langsung:
- AMenghapuskan semua bias daripada sampel
- BMeningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar
- CMeningkatkan saiz kesan
- DMenjamin keputusan yang signifikan secara statistik jika sebarang kesan wujud
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 47, 37, 41, 40, 60.
n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 38?
μ = 50σ = 15x = 38
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.3, 0.35
σ =
6.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 7 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.4, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?
n = 7p = 0.4k = 2
P =
7.Taburan normalSederhana
Jisim bolt adalah tak bersandar dan normal dengan min 40 g dan sisihan piawai 1.2 g. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 12 daripadanya di bawah 475.8 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12< 475.8 g
P =
8.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 25% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
9.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 64 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 9.1. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 95% daripada data yang sama?
99%n₁ = 64E₁ = 9.195%
E₂ =
10.Selang keyakinanSukar
Diameter 20 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 6.7 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 19, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 8.907 dan 2.5% terletak di atas 32.852.
n = 20s = 6.7 µmχ² = 8.907, 32.852
σ = µm
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Min sesuatu populasi dituntut sebagai 120; sisihan piawai populasi diketahui ialah 4. Satu sampel rawak 64 cerapan mempunyai min 119.2. Uji H₀: μ = 120 terhadap H₁: μ ≠ 120. Cari nilai-p p.
μ₀ = 120σ = 4n = 64x̄ = 119.2H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 203.1. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had bawah L selang keyakinan 99% bagi min.
x̄ = 203.1σ = 10n = 8199%
L =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 18.5.
n = 5x = 18.5
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 2002 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua membandingkan kiraan cerapan dalam 5 kategori dengan perkadaran jangkaan yang ditentukan sepenuhnya (tiada parameter dianggarkan daripada data). Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.01.
α = 0.01
χ²crit =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Kesahan ramalan
Mengapa ini jawapannya
Kesahan ramalan ditunjukkan apabila skor meramalkan kriteria kemudian. Kesahan serentak menggunakan kriteria yang diukur pada masa yang sama.
Jawapan
A · Kesahan ramalan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Meningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar
Mengapa ini jawapannya
Sampel lebih besar mengurangkan ralat piawai, meningkatkan kuasa. Ia tidak mengubah saiz kesan sebenar atau menghapuskan bias sistematik.
Jawapan
B · Meningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 9.138
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 225/5 = 45
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 2² + (−8)² + (−4)² + (−5)² + 15² = 334
Sisihan piawai
s = √(334/4) = 9.138
Jawapan
s = 9.138
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.2119
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.8
Jadual normal piawai
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
Jawapan
P = 0.2119
5.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.178
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.25 + 2·0.1 + 3·0.3 + 4·0.35 = 2.75
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.1 + 9·0.3 + 16·0.35 = 8.95
Varians
Var(X) = 8.95 − 2.75² = 1.387
σ = √1.387 = 1.178
Jawapan
σ = 1.178
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.2613
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 2) = 21·0.42·0.65 = 21·0.16·0.07776 = 0.2613
Jawapan
P = 0.2613
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.1562
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 480 g, σT = 1.2·√12 = 4.157 g
Piawaikan
z = (475.8 − 480)/4.157 = −1.01
Kebarangkalian
P = Φ(−1.01) = 0.1562
Jawapan
P = 0.1562
8.Taburan normal
Jawapan: x = 182.7 cm
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.75
z daripada jadual
z ≈ 0.67
Kembali kepada unit asal
x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm
Jawapan
x = 182.7 cm
9.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 6.924
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(64/64) = 0.7609
Margin baharu
E₂ = 9.1·0.7609 = 6.924
Jawapan
E₂ = 6.924
10.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 5.095 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 19·6.7² = 852.9
Had bagi σ²
852.9/32.852 = 25.96
852.9/8.907 = 95.76
Had bagi σ
σ = √25.96 = 5.095 µm
Jawapan
σ = 5.095 µm
Selang 95% bagi σ: [5.095, 9.786] µm.
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: p = 0.1096
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik ujian
SE = σ/√n = 4/√64 = 0.5
z = (119.2 − 120)/0.5 = −1.6
Luas ekor
Φ(1.6) = 0.9452
1 − Φ(1.6) = 0.0548
Nilai-p
p = 2·0.0548 = 0.1096
Jawapan
p = 0.1096
p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 200.2
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 2.576·10/√81 = 2.862
Had selang
L = 203.1 − 2.862 = 200.2
Jawapan
L = 200.2
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.9737
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 98/5 = 19.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 129.2
Pekali korelasi
r = −35/√(10·129.2) = −0.9737
Jawapan
r = −0.9737
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 36.35
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 271/5 = 54.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357
Garis regresi
b = 357/90 = 3.967
a = 54.2 − 3.967·23 = −37.03
ŷ = −37.03 + 3.967·x
Ramalan
ŷ = −37.03 + 3.967·18.5 = 36.35
Jawapan
ŷ = 36.35
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 11.94
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
bandar: 80·40/200 = 16, 80·90/200 = 36, 80·70/200 = 28
luar bandar: 120·40/200 = 24, 120·90/200 = 54, 120·70/200 = 42
Statistik khi kuasa dua
χ² = (17 − 16)²/16 + (46 − 36)²/36 + (17 − 28)²/28 + (23 − 24)²/24 + (44 − 54)²/54 + (53 − 42)²/42
χ² = 11.94
Jawapan
χ² = 11.94
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ²crit = 13.28
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = 5 − 1 = 4
Jadual
χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277
Jawapan
χ²crit = 13.277
Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology