Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Dalam reka bentuk ukuran berulang, kesan urutan boleh dikawal dengan:
- APensampelan rawak
- BPengimbangan balas (counterbalancing)
- CMenggunakan sampel yang lebih besar sahaja
- DProsedur buta tunggal
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Kajian melaporkan t(28) = 2.50, p = .018 untuk dua kumpulan bebas yang sama saiz. Berapa ramai peserta yang mengambil bahagian?
- A30
- B29
- C56
- D28
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 14, 19, 28, 38, 32.
n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 60. Cari skor-z z bagi skor 428.
μ = 500σ = 60x = 428
z =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.35, 0.2, 0.25
σ =
6.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 5. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.2, 0.3, 0.3Y = 3X + 5
σY =
7.Taburan normalSederhana
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 240 dan 259.25 g? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 250σ = 5x1 = 240x2 = 259.25
P =
8.Taburan normalSukar
Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 16 item mempunyai min 79 dan sisihan piawai s = 16. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.
n = 16x̄ = 79s = 1690%t(15) = 1.753
had bawah =
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 12. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?
σ = 12E = 390%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 116.4 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116.4s = 20n = 25
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 20. Pada hakikatnya min ialah 82.75. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 80μ = 82.75σ = 20n = 64α = 0.05
1 − β = %
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 21Σy = 115Σx² = 91Σy² = 2275Σxy = 370
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 22.
n = 6x = 22
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 2402 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua menyemak sama ada kiraan dalam 9 kategori mengikut taburan Poisson yang puratanya dianggarkan daripada data yang sama. Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.01.
α = 0.01
χ²crit =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: B · Pengimbangan balas (counterbalancing)
Mengapa ini jawapannya
Pengimbangan balas mengagihkan kesan latihan dan keletihan secara sama rata merentas keadaan.
Jawapan
B · Pengimbangan balas (counterbalancing)
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · 30
Mengapa ini jawapannya
Darjah kebebasan 28 bermaksud 28 + 2 = 30 peserta, 15 dalam setiap kumpulan.
Jawapan
A · 30
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 9.706
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 131/5 = 26.2
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−12.2)² + (−7.2)² + 1.8² + 11.8² + 5.8² = 376.8
Sisihan piawai
s = √(376.8/4) = 9.706
Jawapan
s = 9.706
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = −1.2
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (428 − 500)/60 = −1.2
Jawapan
z = −1.2
5.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.072
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.2 + 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.25 = 1.5
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.2 + 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.25 = 3.4
Varians
Var(X) = 3.4 − 1.5² = 1.15
σ = √1.15 = 1.072
Jawapan
σ = 1.072
6.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 3.3
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 1.7, Var(X) = 1.21, σX = 1.1
Perubahan linear
σY = |3|·1.1 = 3.3
Jawapan
σY = 3.3
Min memang berubah: E(Y) = 3·1.7 + 5 = 10.1.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9451
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (240 − 250)/5 = −2
z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85
Luas antara
P = Φ(1.85) − Φ(−2) = 0.9678 − 0.02275 = 0.9451
Jawapan
P = 0.9451
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8413
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Piawaikan
z = (0 − 10)/10 = −1
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
9.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 71.99
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 15, t = 1.753
Margin ralat
E = 1.753·16/√16 = 7.012
Selang
79 ± 7.012 → [71.99, 86.01]
Jawapan
had bawah = 71.99
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 44
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·12/3)² = 43.3
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 44
Jawapan
n = 44
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −0.9
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Statistik ujian
t = (116.4 − 120)/4 = −0.9
Jawapan
t = −0.9
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 29.29 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 80 + 1.645·2.5 = 84.11
z di bawah min sebenar
z = (84.11 − 82.75)/2.5 = 0.545
Kuasa
kuasa = P(Z > 0.545) = 29.29%
1 − β = 29.29%
Jawapan
1 − β = 29.29%
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.9231
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 370 − 21·115/6 = −32.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2275 − 115²/6 = 70.83
Pekali korelasi
r = −32.5/√(17.5·70.83) = −0.9231
Jawapan
r = −0.9231
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 67.86
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 366/6 = 61
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240
Garis regresi
b = 240/70 = 3.429
a = 61 − 3.429·20 = −7.571
ŷ = −7.571 + 3.429·x
Ramalan
ŷ = −7.571 + 3.429·22 = 67.86
Jawapan
ŷ = 67.86
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 0.6061
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
perokok: 120·132/240 = 66, 120·108/240 = 54
bukan perokok: 120·132/240 = 66, 120·108/240 = 54
Statistik khi kuasa dua
χ² = (63 − 66)²/66 + (57 − 54)²/54 + (69 − 66)²/66 + (51 − 54)²/54
χ² = 0.6061
Jawapan
χ² = 0.6061
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ²crit = 18.48
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = 9 − 1 − 1 = 7
Jadual
χ²crit(df = 7, α = 0.01) = 18.475
Jawapan
χ²crit = 18.475
Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology