Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Dalam penyelidikan pemerhatian, pensampelan peristiwa bermaksud:
- AMerekod setiap kali tingkah laku tertentu berlaku
- BMerekod hanya peristiwa yang dilaporkan peserta
- CMemilih peserta secara rawak
- DMerekod tingkah laku hanya pada selang masa tetap
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik menggunakan soal selidik, temu bual dan pemerhatian untuk mengkaji tekanan di tempat kerja, dan dapatannya selaras. Apakah pendekatan ini dipanggil?
- APelapisan
- BPengimbangan balas
- CTriangulasi
- DReplikasi
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 21, 59, 51, 43, 20, 44.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 110?
μ = 100σ = 5x = 110
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.15, 0.25, 0.25
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 1. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.25, 0.25, 0.25Y = 5X + 1
σY =
7.Taburan normalSederhana
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 250.25 dan 255 g? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 250σ = 5x1 = 250.25x2 = 255
P =
8.Taburan normalSukar
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 95% daripadanya (persentil ke-95).
μ = 250σ = 5P = 95%
x = g
9.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 15 item mempunyai min 102 dan sisihan piawai s = 18. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk min.
n = 15x̄ = 102s = 1890%t(14) = 1.761
E =
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 21. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?
σ = 21E = 2.599%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 495.5 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 495.5s = 12n = 49
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 44 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 50 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 50n₂ = 100
z =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 6
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 69?
n = 5ŷ = 69
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1802 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 2403 × 2α = 0.05
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Merekod setiap kali tingkah laku tertentu berlaku
Mengapa ini jawapannya
Pensampelan peristiwa mengira setiap kejadian tingkah laku sasaran. Pensampelan masa merekod apa yang berlaku pada selang tetap, seperti setiap 30 saat.
Jawapan
A · Merekod setiap kali tingkah laku tertentu berlaku
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Triangulasi
Mengapa ini jawapannya
Triangulasi menggunakan pelbagai kaedah, sumber atau penyelidik. Persetujuan antaranya meningkatkan keyakinan terhadap kesahan dapatan.
Jawapan
C · Triangulasi
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 15.92
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 238/6 = 39.67
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−18.67)² + 19.33² + 11.33² + 3.333² + (−19.67)² + 4.333² = 1267
Sisihan piawai
s = √(1267/5) = 15.92
Jawapan
s = 15.92
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.9772
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 2
Jadual normal piawai
Φ(2) = 0.9772
P = 0.9772
Jawapan
P = 0.9772
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 144
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 10·0.35 + 20·0.15 + 30·0.25 + 40·0.25 = 24
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 100·0.35 + 400·0.15 + 900·0.25 + 1600·0.25 = 720
Varians
Var(X) = 720 − 24² = 144
Jawapan
Var(X) = 144
6.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 5.59
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 2.5, Var(X) = 1.25, σX = 1.118
Perubahan linear
σY = |5|·1.118 = 5.59
Jawapan
σY = 5.59
Min memang berubah: E(Y) = 5·2.5 + 1 = 13.5.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.3214
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (250.25 − 250)/5 = 0.05
z₂ = (255 − 250)/5 = 1
Luas antara
P = Φ(1) − Φ(0.05) = 0.8413 − 0.5199 = 0.3214
Jawapan
P = 0.3214
8.Taburan normal
Jawapan: x = 258.2 g
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
Kembali kepada x
x = 250 + 1.645·5 = 258.22 g
Jawapan
x = 258.22 g
9.Selang keyakinan
Jawapan: E = 8.184
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 14, t = 1.761
Margin ralat
E = 1.761·18/√15 = 8.184
Jawapan
E = 8.184
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 469
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2.576·21/2.5)² = 468.2
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 469
Jawapan
n = 469
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −2.625
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714
Statistik ujian
t = (495.5 − 500)/1.714 = −2.625
Jawapan
t = −2.625
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 0.6673
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 44/80 = 0.55
p̂₂ = 50/100 = 0.5
p̂ = 94/180 = 0.5222
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.5222·0.4778·(1/80 + 1/100)) = 0.07493
Statistik ujian
z = (0.55 − 0.5)/0.07493 = 0.6673
Jawapan
z = 0.6673
|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9956
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 159/6 = 26.5
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 237
Syy = Σ(y − ȳ)² = 809.5
Pekali korelasi
r = 237/√(70·809.5) = 0.9956
Jawapan
r = 0.9956
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 8.051
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 300/5 = 60
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Garis regresi
b = 118/40 = 2.95
a = 60 − 2.95·5 = 45.25
ŷ = 45.25 + 2.95·x
Selesaikan untuk x
x = (69 − 45.25)/2.95 = 8.051
Jawapan
x = 8.051
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 2.25
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
lelaki: 100·90/180 = 50, 100·90/180 = 50
perempuan: 80·90/180 = 40, 80·90/180 = 40
Statistik khi kuasa dua
χ² = (55 − 50)²/50 + (45 − 50)²/50 + (35 − 40)²/40 + (45 − 40)²/40
χ² = 2.25
Jawapan
χ² = 2.25
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 31.94
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
loji A: 60, 40
loji B: 36, 24
loji C: 48, 32
Statistik khi kuasa dua
χ² = (75 − 60)²/60 + (25 − 40)²/40 + (41 − 36)²/36 + (19 − 24)²/24 + (28 − 48)²/48 + (52 − 32)²/32
χ² = 31.94
Keputusan
df = 2, χ²crit = 5.991
31.94 > 5.991
Jawapan
χ² = 31.94
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology