Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian
χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soalan latihan

1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana

Dalam taburan pencong positif, seperti pendapatan:

  1. AMin lebih besar daripada median
  2. BMin kurang daripada median
  3. CMin dan median sentiasa sama
  4. DTiada skor ekstrem
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar

Ujian bukan parametrik manakah yang membandingkan dua sampel berkaitan, seperti skor sebelum-dan-selepas pada skala ordinal?

  1. AUjian khi kuasa dua kebebasan
  2. BUjian-t bebas
  3. CUjian Mann–Whitney U
  4. DUjian pangkat bertanda Wilcoxon
3.Statistik perihalanSederhana
1520253035404550

Cari sisihan piawai sampel s data: 50, 33, 35, 37, 12.

n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 85.

μ = 70σ = 15x = 85
z =
5.KebarangkalianSederhana
xp(x)10.3520.330.140.25μ = 2.25

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.1, 0.25
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
€p(x)−30.74120.25270.01

Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €15 dengan kebarangkalian 0.25 dan €30 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €3€15: p = 0.25€30: p = 0.01
E(G) = €
7.Taburan normalSederhana
750 g735.2 gX + Y?

X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 735.2 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 735.2 g
P =
8.Taburan normalSukar
μ = 65x = ?5%

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 65σ = 10P = 5%
x = markah
9.Selang keyakinanSederhana
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 40 telefon, min 147 j, sisihan piawai diketahui 8 j. Model 2: 60 telefon, min 159.5 j, sisihan piawai diketahui 9 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 147 hσ₁ = 8 hn₂ = 60x̄₂ = 159.5 hσ₂ = 9 h95%
E = h
10.Selang keyakinanSukar
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.599%

Sisihan piawai populasi ialah 8. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?

σ = 8E = 1.599%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.06402.064

Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 48.2 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48.2s = 10n = 25
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.9601.96

Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 503.1. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 503.1σ = 10n = 6495%
L =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
xy164918622066227124822691xy20256080

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 126Σy = 421Σx² = 2716Σy² = 30647Σxy = 9116
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
xy3365497609671171xy5104060ŷ = 43

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 43?

n = 5ŷ = 43
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
bertambah baiktidak bertambah baikJumlahubat baharu4357100plasebo2773100Jumlah70130200

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 2002 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
yatidakJumlahumur 18–306931100umur 31–506733100umur 51+83240Jumlah14496240dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.01 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.

N = 2403 × 2α = 0.01
χ² =

3Larutan

1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi

Jawapan: A · Min lebih besar daripada median

Mengapa ini jawapannya

Beberapa nilai yang sangat tinggi di ekor kanan menaikkan min melebihi median, itulah sebabnya median sering dilaporkan untuk data pencong.

Jawapan

A · Min lebih besar daripada median
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi

Jawapan: D · Ujian pangkat bertanda Wilcoxon

Mengapa ini jawapannya

Ujian pangkat bertanda Wilcoxon untuk data ordinal berpasangan; Mann–Whitney U ialah pasangannya untuk kumpulan bebas.

Jawapan

D · Ujian pangkat bertanda Wilcoxon
3.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.69

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 167/5 = 33.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 16.6² + (−0.4)² + 1.6² + 3.6² + (−21.4)² = 749.2

Sisihan piawai

s = √(749.2/4) = 13.69

Jawapan

s = 13.69
4.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (85 − 70)/15 = 1

Jawapan

z = 1
5.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.387

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.35 + 2·0.3 + 3·0.1 + 4·0.25 = 2.25

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.3 + 9·0.1 + 16·0.25 = 6.45

Varians

Var(X) = 6.45 − 2.25² = 1.387

Jawapan

Var(X) = 1.387
6.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 1.05 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 12 (p = 0.25), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.74)

Nilai jangkaan

E(G) = 12·0.25 + 27·0.01 − 3·0.74 = 1.05 €

Jawapan

E(G) = 1.05 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

7.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9332

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

Piawaikan

z = (735.2 − 750)/9.849 = −1.5

Ekor atas

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332
8.Taburan normal

Jawapan: x = 48.55 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 65 + −1.645·10 = 48.55 markah

Jawapan

x = 48.55 markah
9.Selang keyakinan

Jawapan: E = 3.366 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 147 − 159.5 = −12.5

Ralat piawai

SE = √(8²/40 + 9²/60) = 1.718

Margin ralat

E = 1.96·1.718 = 3.366

Jawapan

E = 3.366 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

10.Selang keyakinan

Jawapan: n = 189

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·8/1.5)² = 188.8

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 189

Jawapan

n = 189
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −0.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Statistik ujian

t = (48.2 − 50)/2 = −0.9

Jawapan

t = −0.9
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

12.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 500.7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·10/√64 = 2.45

Had selang

L = 503.1 − 2.45 = 500.7

Jawapan

L = 500.7
13.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.988

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 9116 − 126·421/6 = 275
Sxx = 2716 − 126²/6 = 70
Syy = 30647 − 421²/6 = 1107

Pekali korelasi

r = 275/√(70·1107) = 0.988

Jawapan

r = 0.988
14.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 3.909

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 283/5 = 56.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176

Garis regresi

b = 176/40 = 4.4
a = 56.6 − 4.4·7 = 25.8
ŷ = 25.8 + 4.4·x

Selesaikan untuk x

x = (43 − 25.8)/4.4 = 3.909

Jawapan

x = 3.909
15.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 5.626

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

ubat baharu: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65
plasebo: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65

Statistik khi kuasa dua

χ² = (43 − 35)²/35 + (57 − 65)²/65 + (27 − 35)²/35 + (73 − 65)²/65
χ² = 5.626

Jawapan

χ² = 5.626

df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) ditolak.

16.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 32.08

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

umur 18–30: 60, 40
umur 31–50: 60, 40
umur 51+: 24, 16

Statistik khi kuasa dua

χ² = (69 − 60)²/60 + (31 − 40)²/40 + (67 − 60)²/60 + (33 − 40)²/40 + (8 − 24)²/24 + (32 − 16)²/16
χ² = 32.08

Keputusan

df = 2, χ²crit = 9.210
32.08 > 9.210

Jawapan

χ² = 32.08

χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology