Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Seorang pelajar mendapat 130 pada ujian dengan min 100 dan sisihan piawai 15. Berapakah skor-z?
- A1.5
- B0.5
- C3.0
- D2.0
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
ANOVA sehala yang membandingkan empat kumpulan adalah signifikan. Apakah yang patut dilakukan seterusnya oleh penyelidik untuk mencari kumpulan mana yang berbeza?
- AMenjalankan ujian khi kuasa dua pada min
- BMenyimpulkan bahawa keempat-empat kumpulan berbeza antara satu sama lain
- CMelaporkan keputusan sebagai korelasi
- DMenjalankan ujian pasca-hoc seperti HSD Tukey
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 58, 52, 36, 57, 30, 56, 18.
n = 7
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 75. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 530?
μ = 500σ = 75x = 530
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.05, 0.35, 0.35, 0.25
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €4 dengan kebarangkalian 0.1 dan €20 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €2€4: p = 0.1€20: p = 0.05
E(G) = €
7.Taburan normalSederhana
Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 4 daripadanya melebihi 51.2 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4> 51.2 kg
P =
8.Taburan normalSukar
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 20% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
9.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 16 item mempunyai min 47 dan sisihan piawai s = 3. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.
n = 16x̄ = 47s = 395%t(15) = 2.131
had atas =
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 32. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?
σ = 32E = 0.599%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 60 bahagian mempunyai min panjang 71 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 5 mm. Talian 2: sampel 50 bahagian mempunyai min 77.3 mm, sisihan piawai diketahui 18 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).
n₁ = 60x̄₁ = 71 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 50x̄₂ = 77.3 mmσ₂ = 18 mm
z =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 10. Pada hakikatnya min ialah 101.9. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 100μ = 101.9σ = 10n = 100α = 0.05
1 − β = %
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (5.5, 43) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(5.5, 43)
e =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “kakitangan, basikal”.
jumlah baris = 77jumlah lajur = 56N = 177
E =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua membandingkan kiraan cerapan dalam 5 kategori dengan perkadaran jangkaan yang ditentukan sepenuhnya (tiada parameter dianggarkan daripada data). Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.05.
α = 0.05
χ²crit =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · 2.0
Mengapa ini jawapannya
(130 − 100) / 15 = 2. Skor itu dua sisihan piawai di atas min, lebih tinggi daripada kira-kira 97–98% orang.
Jawapan
D · 2.0
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Menjalankan ujian pasca-hoc seperti HSD Tukey
Mengapa ini jawapannya
F yang signifikan menunjukkan bahawa tidak semua min adalah sama. Ujian pasca-hoc atau kontras terancang mengenal pasti pasangan mana yang berbeza sambil mengawal kadar ralat.
Jawapan
D · Menjalankan ujian pasca-hoc seperti HSD Tukey
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 15.86
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 307/7 = 43.86
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 14.14² + 8.143² + (−7.857)² + 13.14² + (−13.86)² + 12.14² + (−25.86)² = 1509
Sisihan piawai
s = √(1509/6) = 15.86
Jawapan
s = 15.86
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.3446
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 0.4
Jadual normal piawai
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
Jawapan
P = 0.3446
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 0.76
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.05 + 1·0.35 + 2·0.35 + 3·0.25 = 1.8
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.05 + 1·0.35 + 4·0.35 + 9·0.25 = 4
Varians
Var(X) = 4 − 1.8² = 0.76
Jawapan
Var(X) = 0.76
6.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = −0.6 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 2 (p = 0.1), 18 (p = 0.05), −2 (p = 0.85)
Nilai jangkaan
E(G) = 2·0.1 + 18·0.05 − 2·0.85 = −0.6 €
Jawapan
E(G) = −0.6 €
Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.02275
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 48 kg, σT = 0.8·√4 = 1.6 kg
Piawaikan
z = (51.2 − 48)/1.6 = 2
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(2) = 0.02275
Jawapan
P = 0.02275
8.Taburan normal
Jawapan: x = 245.8 g
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.2
z daripada jadual
z ≈ −0.84
Kembali kepada unit asal
x = 250 − 0.84·5 = 245.8 g
Jawapan
x = 245.8 g
9.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 48.6
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 15, t = 2.131
Margin ralat
E = 2.131·3/√16 = 1.598
Selang
47 ± 1.598 → [45.4, 48.6]
Jawapan
had atas = 48.6
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 27181
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2.576·32/0.5)² = 27180
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 27181
Jawapan
n = 27181
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = −2.399
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Ralat piawai bagi beza
SE = √(5²/60 + 18²/50) = √6.897 = 2.626
Statistik ujian
z = (71 − 77.3)/2.626 = −2.399
Jawapan
z = −2.399
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 60.06 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 100 + 1.645·1 = 101.6
z di bawah min sebenar
z = (101.6 − 101.9)/1 = −0.255
Kuasa
kuasa = P(Z > −0.255) = 60.06%
1 − β = 60.06%
Jawapan
1 − β = 60.06%
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9642
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 255/6 = 42.5
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 125
Syy = Σ(y − ȳ)² = 231.5
Pekali penentuan
r² = 125²/(70·231.5) = 0.9642
Jawapan
r² = 0.9642
Kira-kira 96.42% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −4.243
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 255/6 = 42.5
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41.5
Garis regresi
b = 41.5/17.5 = 2.371
a = 42.5 − 2.371·3.5 = 34.2
ŷ = 34.2 + 2.371·x
Nilai ramalan
ŷ = 34.2 + 2.371·5.5 = 47.24
Reja
e = 43 − 47.24 = −4.243
Jawapan
e = −4.243
Titik itu terletak di bawah garis.
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: E = 24.36
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
E = 77·56/177 = 24.36
Jawapan
E = 24.36
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ²crit = 9.488
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = 5 − 1 = 4
Jadual
χ²crit(df = 4, α = 0.05) = 9.488
Jawapan
χ²crit = 9.488
Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology