Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Kesahan dalaman merujuk kepada:
- ASama ada peserta mendapati kajian menarik
- BSama ada ujian memberi keputusan yang sama dari semasa ke semasa
- CSama ada dapatan boleh digeneralisasikan melangkaui kajian kepada populasi, tetapan dan masa lain
- DSama ada kesan yang diperhatikan benar-benar disebabkan oleh IV dan bukan faktor lain
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Pesakit yang dipilih kerana mempunyai skor kebimbangan yang sangat tinggi menunjukkan skor lebih rendah pada ujian kedua, walaupun tanpa rawatan. Apakah penjelasan yang paling mungkin?
- ARegresi ke min
- BKesan siling
- CPengimbangan balas
- DKesan Hawthorne
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 39, 56, 36, 57, 51, 12.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 45.
μ = 60σ = 10x = 45
z =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €10 untuk dimain. Anda menang €30 dengan kebarangkalian 0.15 dan €500 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €10€30: p = 0.15€500: p = 0.01
E(G) = €
7.Taburan normalSederhana
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 502 dan 522 h? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 500σ = 40x1 = 502x2 = 522
P =
8.Taburan normalSukar
Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 12 item mempunyai min 112.5 dan sisihan piawai s = 2. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.
n = 12x̄ = 112.5s = 299%t(11) = 3.106
E =
10.Selang keyakinanSukar
Diameter 21 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 3.1 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 20, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 9.591 dan 2.5% terletak di atas 34.17.
n = 21s = 3.1 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 503.3 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503.3s = 8n = 49
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5? Sisihan piawai ialah 4. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 4E = 0.590%
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 21?
n = 6ŷ = 21
x =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1602 × 2
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 1803 × 2α = 0.05
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Sama ada kesan yang diperhatikan benar-benar disebabkan oleh IV dan bukan faktor lain
Mengapa ini jawapannya
Kesahan dalaman yang tinggi bermakna penjelasan alternatif, seperti pengelirut, ciri tuntutan atau bias penyelidik, telah disingkirkan. Kesahan luaran berkaitan generalisasi.
Jawapan
D · Sama ada kesan yang diperhatikan benar-benar disebabkan oleh IV dan bukan faktor lain
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Regresi ke min
Mengapa ini jawapannya
Apabila orang dipilih kerana skor ekstrem, ralat pengukuran dan kebetulan bermakna skor kemudian mereka cenderung bergerak ke arah purata. Kumpulan kawalan membantu memisahkan ini daripada kesan rawatan.
Jawapan
A · Regresi ke min
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 17.01
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 251/6 = 41.83
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−2.833)² + 14.17² + (−5.833)² + 15.17² + 9.167² + (−29.83)² = 1447
Sisihan piawai
s = √(1447/5) = 17.01
Jawapan
s = 17.01
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = −1.5
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (45 − 60)/10 = −1.5
Jawapan
z = −1.5
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 0.6475
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
Varians
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
Jawapan
Var(X) = 0.6475
6.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = −0.5 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 20 (p = 0.15), 490 (p = 0.01), −10 (p = 0.84)
Nilai jangkaan
E(G) = 20·0.15 + 490·0.01 − 10·0.84 = −0.5 €
Jawapan
E(G) = −0.5 €
Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.
7.Taburan normal
Jawapan: P = 0.1889
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (502 − 500)/40 = 0.05
z₂ = (522 − 500)/40 = 0.55
Luas antara
P = Φ(0.55) − Φ(0.05) = 0.7088 − 0.5199 = 0.1889
Jawapan
P = 0.1889
8.Taburan normal
Jawapan: P = 0.983
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01414 mm
Piawaikan
z = (0 − 0.03)/0.01414 = −2.12
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−2.12) = 0.983
Jawapan
P = 0.983
9.Selang keyakinan
Jawapan: E = 1.793
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 11, t = 3.106
Margin ralat
E = 3.106·2/√12 = 1.793
Jawapan
E = 1.793
10.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 2.372 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 20·3.1² = 192.2
Had bagi σ²
192.2/34.17 = 5.625
192.2/9.591 = 20.04
Had bagi σ
σ = √5.625 = 2.372 µm
Jawapan
σ = 2.372 µm
Selang 95% bagi σ: [2.372, 4.477] µm.
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.888
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143
Statistik ujian
t = (503.3 − 500)/1.143 = 2.888
Jawapan
t = 2.888
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 174
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.645·4/0.5)² = 173.2
Bundarkan ke atas
n = 174
Jawapan
n = 174
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9891
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 167/6 = 27.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 241
Syy = Σ(y − ȳ)² = 838.8
Pekali penentuan
r² = 241²/(70·838.8) = 0.9891
Jawapan
r² = 0.9891
Kira-kira 98.91% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 2.705
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 120/6 = 20
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Garis regresi
b = −22/17.5 = −1.257
a = 20 − (−1.257)·3.5 = 24.4
ŷ = 24.4 − 1.257·x
Selesaikan untuk x
x = (21 − 24.4)/(−1.257) = 2.705
Jawapan
x = 2.705
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 0.1111
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
ubat baharu: 100·64/160 = 40, 100·96/160 = 60
plasebo: 60·64/160 = 24, 60·96/160 = 36
Statistik khi kuasa dua
χ² = (41 − 40)²/40 + (59 − 60)²/60 + (23 − 24)²/24 + (37 − 36)²/36
χ² = 0.1111
Jawapan
χ² = 0.1111
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 6.865
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
loji A: 18, 42
loji B: 24, 56
loji C: 12, 28
Statistik khi kuasa dua
χ² = (13 − 18)²/18 + (47 − 42)²/42 + (32 − 24)²/24 + (48 − 56)²/56 + (9 − 12)²/12 + (31 − 28)²/28
χ² = 6.865
Keputusan
df = 2, χ²crit = 5.991
6.865 > 5.991
Jawapan
χ² = 6.865
χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology