Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Ralat piawai min menjadi lebih kecil apabila:
- APemboleh ubah diukur pada aras ordinal
- BMin meningkat
- CSaiz sampel meningkat
- DSaiz sampel berkurang
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Apakah tujuan utama peruntukan rawak kepada keadaan dalam eksperimen?
- AUntuk memastikan peserta tidak tahu tujuan
- BUntuk meningkatkan kadar maklum balas
- CUntuk menjadikan sampel mewakili populasi sasaran supaya keputusan boleh digeneralisasikan
- DUntuk menyebarkan pemboleh ubah peserta secara sama rata supaya ia tidak mengelirukan keputusan
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 32, 37, 11, 28, 23, 11.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 68?
μ = 50σ = 12x = 68
P =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.25, 0.15, 0.25
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 9 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?
n = 9p = 0.7k = 4
P =
7.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.6808. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.6808
z =
8.Taburan normalSukar
masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
9.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 145.5 j, sisihan piawai diketahui 11 j. Model 2: 100 telefon, min 157.5 j, sisihan piawai diketahui 17 j. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 145.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 100x̄₂ = 157.5 hσ₂ = 17 h99%
had bawah = h
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 4. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?
σ = 4E = 0.590%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Min sesuatu populasi dituntut sebagai 120; sisihan piawai populasi diketahui ialah 15. Satu sampel rawak 36 cerapan mempunyai min 122.75. Uji H₀: μ = 120 terhadap H₁: μ > 120. Cari nilai-p p.
μ₀ = 120σ = 15n = 36x̄ = 122.75H₁: μ > μ₀
p =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5? Sisihan piawai ialah 5. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 5E = 2.595%
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 6
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (6, 68) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 5(6, 68)
e =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “kakitangan, basikal”.
jumlah baris = 84jumlah lajur = 45N = 151
E =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebebasan khi kuasa dua dijalankan pada jadual kontingensi dengan 3 baris dan 5 lajur (tidak termasuk jumlah). Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.01.
α = 0.01
χ²crit =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Saiz sampel meningkat
Mengapa ini jawapannya
Ralat piawai menganggar sejauh mana min sampel berbeza di sekitar min populasi. Sampel lebih besar memberi anggaran yang lebih tepat.
Jawapan
C · Saiz sampel meningkat
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: D · Untuk menyebarkan pemboleh ubah peserta secara sama rata supaya ia tidak mengelirukan keputusan
Mengapa ini jawapannya
Peruntukan rawak mengimbangkan perbezaan individu merentas keadaan, menyokong kesimpulan sebab-akibat. Pensampelan rawak berkaitan generalisasi kepada populasi.
Jawapan
D · Untuk menyebarkan pemboleh ubah peserta secara sama rata supaya ia tidak mengelirukan keputusan
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 10.84
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 142/6 = 23.67
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 8.333² + 13.33² + (−12.67)² + 4.333² + (−0.6667)² + (−12.67)² = 587.3
Sisihan piawai
s = √(587.3/5) = 10.84
Jawapan
s = 10.84
4.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.06681
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1.5
Jadual normal piawai
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
Jawapan
P = 0.06681
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.41
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.35 + 1·0.25 + 2·0.15 + 3·0.25 = 1.3
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.25 + 4·0.15 + 9·0.25 = 3.1
Varians
Var(X) = 3.1 − 1.3² = 1.41
Jawapan
Var(X) = 1.41
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.07351
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 4) = 126·0.74·0.35 = 126·0.2401·0.00243 = 0.07351
Jawapan
P = 0.07351
7.Taburan normal
Jawapan: z = −0.47
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0.6808 = 0.3192
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.3192 di dalam jadual dan baca z.
z = −0.47
Jawapan
z = −0.47
8.Taburan normal
Jawapan: x = 39.69 min
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
Kembali kepada x
x = 32 + 1.282·6 = 39.69 min
Jawapan
x = 39.69 min
9.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −17.4 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 145.5 − 157.5 = −12
Ralat piawai
SE = √(11²/80 + 17²/100) = 2.098
Margin ralat
E = 2.576·2.098 = 5.405
Selang
−12 ± 5.405 → [−17.4, −6.595]
Jawapan
had bawah = −17.4 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 174
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·4/0.5)² = 173.2
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 174
Jawapan
n = 174
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: p = 0.1357
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik ujian
SE = σ/√n = 15/√36 = 2.5
z = (122.75 − 120)/2.5 = 1.1
Luas ekor
Φ(1.1) = 0.8643
1 − Φ(1.1) = 0.1357
Nilai-p
p = 0.1357
Jawapan
p = 0.1357
p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 16
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.96·5/2.5)² = 15.37
Bundarkan ke atas
n = 16
Jawapan
n = 16
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.932
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 368/6 = 61.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240
Syy = Σ(y − ȳ)² = 947.3
Pekali korelasi
r = 240/√(70·947.3) = 0.932
Jawapan
r = 0.932
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 4.15
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 293/5 = 58.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210
Garis regresi
b = 210/40 = 5.25
a = 58.6 − 5.25·5 = 32.35
ŷ = 32.35 + 5.25·x
Nilai ramalan
ŷ = 32.35 + 5.25·6 = 63.85
Reja
e = 68 − 63.85 = 4.15
Jawapan
e = 4.15
Titik itu terletak di atas garis.
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: E = 25.03
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
E = 84·45/151 = 25.03
Jawapan
E = 25.03
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ²crit = 20.09
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
Jadual
χ²crit(df = 8, α = 0.01) = 20.090
Jawapan
χ²crit = 20.090
Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology