Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Kajian yang dijalankan hanya dengan pelajar sarjana muda Amerika mungkin kekurangan:
- AKetekalan dalaman
- BKesahan kandungan
- CKesahan populasi
- DKebolehpercayaan antara penilai
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Seorang penyelidik menjalankan lima ujian-t dan mahu mengekalkan kadar ralat Jenis I keseluruhan pada 0.05 menggunakan pembetulan Bonferroni. Apakah aras signifikan yang patut digunakan oleh setiap ujian?
- A0.01
- B0.025
- C0.05
- D0.25
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 49, 35, 42, 19, 40, 38.
n = 6
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 84.
μ = 60σ = 12x = 84
z =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.35, 0.05, 0.25
Var(X) =
6.KebarangkalianSukar
6 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 6p = 0.3
P =
7.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.9846. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.9846
z =
8.Taburan normalSukar
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 75% daripadanya (persentil ke-75).
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
9.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 36 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 9. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 90% daripada data yang sama?
99%n₁ = 36E₁ = 990%
E₂ =
10.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 10 petak, min hasil 43 kg, sisihan piawai 5.5 kg. Kumpulan petak 2: 16 petak, min 31.5 kg, sisihan piawai 3.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 10x̄₁ = 43s₁ = 5.5n₂ = 16x̄₂ = 31.5s₂ = 3.590%t(24) = 1.711
had bawah = kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
11 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 0.99 dan sisihan piawai beza ialah 1.5. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = 0.99sd = 1.5
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 102.3. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.
x̄ = 102.3σ = 20n = 6490%
L =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 6
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Satu ujian kebebasan khi kuasa dua dijalankan pada jadual kontingensi dengan 4 baris dan 4 lajur (tidak termasuk jumlah). Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.05.
α = 0.05
χ²crit =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Kesahan populasi
Mengapa ini jawapannya
Kesahan populasi ialah sejenis kesahan luaran. Sampel yang kebanyakannya muda, Barat dan berpendidikan mungkin tidak mewakili orang lain.
Jawapan
C · Kesahan populasi
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · 0.01
Mengapa ini jawapannya
Pembetulan Bonferroni membahagikan α dengan bilangan perbandingan: 0.05 / 5 = 0.01. Ia mudah tetapi konservatif, yang meningkatkan risiko ralat Jenis II.
Jawapan
A · 0.01
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 10.07
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 223/6 = 37.17
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 11.83² + (−2.167)² + 4.833² + (−18.17)² + 2.833² + 0.8333² = 506.8
Sisihan piawai
s = √(506.8/5) = 10.07
Jawapan
s = 10.07
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = 2
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (84 − 60)/12 = 2
Jawapan
z = 2
5.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.36
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.35 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.25 = 2.2
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.25 = 6.2
Varians
Var(X) = 6.2 − 2.2² = 1.36
Jawapan
Var(X) = 1.36
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.4202
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.76 = 0.1176
P(X = 1) = 6·0.3·0.75 = 0.3025
Tambahkannya
P = 0.1176 + 0.3025 = 0.4202
Jawapan
P = 0.4202
7.Taburan normal
Jawapan: z = −2.16
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0.9846 = 0.0154
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.0154 di dalam jadual dan baca z.
z = −2.16
Jawapan
z = −2.16
8.Taburan normal
Jawapan: x = 253.4 g
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
Kembali kepada x
x = 250 + 0.6745·5 = 253.37 g
Jawapan
x = 253.37 g
9.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 5.747
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(36/36) = 0.6386
Margin baharu
E₂ = 9·0.6386 = 5.747
Jawapan
E₂ = 5.747
10.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 8.494 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (9·5.5² + 15·3.5²)/24 = 19
sp = 4.359
Margin ralat
E = 1.711·4.359·√(1/10 + 1/16) = 3.006
Selang
11.5 ± 3.006 → [8.494, 14.51]
Jawapan
had bawah = 8.494 kg
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.189
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ralat piawai bagi min beza
SE = 1.5/√11 = 0.4523
Statistik ujian
t = 0.99/0.4523 = 2.189
Jawapan
t = 2.189
Dengan df = 10, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.228; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 98.19
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.645·20/√64 = 4.112
Had selang
L = 102.3 − 4.112 = 98.19
Jawapan
L = 98.19
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.8232
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 139/6 = 23.17
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 54.83
Pekali korelasi
r = −25.5/√(17.5·54.83) = −0.8232
Jawapan
r = −0.8232
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 10.82
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 151/6 = 25.17
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 251
Garis regresi
b = 251/70 = 3.586
a = 25.17 − 3.586·7 = 0.06667
ŷ = 0.06667 + 3.586·x
Ramalan
ŷ = 0.06667 + 3.586·3 = 10.82
Jawapan
ŷ = 10.82
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 0.836
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
bandar: 40·32/160 = 8, 40·72/160 = 18, 40·56/160 = 14
luar bandar: 120·32/160 = 24, 120·72/160 = 54, 120·56/160 = 42
Statistik khi kuasa dua
χ² = (6 − 8)²/8 + (19 − 18)²/18 + (15 − 14)²/14 + (26 − 24)²/24 + (53 − 54)²/54 + (41 − 42)²/42
χ² = 0.836
Jawapan
χ² = 0.836
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ²crit = 16.92
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9
Jadual
χ²crit(df = 9, α = 0.05) = 16.919
Jawapan
χ²crit = 16.919
Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology