Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk Psikologi: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 16 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
Ujian khi kuasa dua
- Statistik ujian
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Kebagusan penyuaian
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Kebebasan
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai genting (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soalan latihan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSederhana
Pakar menyemak sama ada item peperiksaan matematik meliputi semua topik dalam sukatan pelajaran. Ini menilai:
- AKesahan kandungan
- BKesahan ramalan
- CKesahan ekologi
- DKebolehpercayaan ujian–uji semula
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologiSukar
Meningkatkan saiz sampel dalam kajian paling langsung:
- AMenjamin keputusan yang signifikan secara statistik jika sebarang kesan wujud
- BMeningkatkan saiz kesan
- CMeningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar
- DMenghapuskan semua bias daripada sampel
3.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 11, 14, 20, 36, 42.
n = 5
s =
4.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 155.
μ = 170σ = 10x = 155
z =
5.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.3, 0.3, 0.25
σ =
6.KebarangkalianSukar
11 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 11p = 0.3
P =
7.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.2676. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.2676
z =
8.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 25% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
9.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 11 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 6.8 dan sisihan piawai 1.6. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min beza.
n = 11d̄ = 6.8sd = 1.690%t(10) = 1.812
had bawah = mmHg
10.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 18. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?
σ = 18E = 295%
n =
11.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 500.4 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 500.4s = 4n = 49
t =
12.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 5 unit dengan kuasa 95%. Sisihan piawai ialah 10. Cari saiz sampel minimum n.
α = 0.01kuasa = 95%δ = 5σ = 10zα = 2.326zβ = 1.645
n =
13.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 6
r =
14.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 2.5.
n = 6x = 2.5
ŷ =
15.Ujian khi kuasa duaSederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1202 × 3
χ² =
16.Ujian khi kuasa duaSukar
Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.01 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3Larutan
1.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: A · Kesahan kandungan
Mengapa ini jawapannya
Kesahan kandungan ialah sejauh mana ukuran meliputi semua aspek berkaitan konstruk, biasanya dinilai oleh pakar.
Jawapan
A · Kesahan kandungan
2.Kaedah penyelidikan dalam psikologi
Jawapan: C · Meningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar
Mengapa ini jawapannya
Sampel lebih besar mengurangkan ralat piawai, meningkatkan kuasa. Ia tidak mengubah saiz kesan sebenar atau menghapuskan bias sistematik.
Jawapan
C · Meningkatkan kuasa statistik untuk mengesan kesan sebenar
3.Statistik perihalan
Jawapan: s = 13.7
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 123/5 = 24.6
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−13.6)² + (−10.6)² + (−4.6)² + 11.4² + 17.4² = 751.2
Sisihan piawai
s = √(751.2/4) = 13.7
Jawapan
s = 13.7
4.Statistik perihalan
Jawapan: z = −1.5
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (155 − 170)/10 = −1.5
Jawapan
z = −1.5
5.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 2.027
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.15 + 2·0.3 + 4·0.3 + 6·0.25 = 3.3
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.15 + 4·0.3 + 16·0.3 + 36·0.25 = 15
Varians
Var(X) = 15 − 3.3² = 4.11
σ = √4.11 = 2.027
Jawapan
σ = 2.027
6.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.113
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.711 = 0.01977
P(X = 1) = 11·0.3·0.710 = 0.09322
Tambahkannya
P = 0.01977 + 0.09322 = 0.113
Jawapan
P = 0.113
7.Taburan normal
Jawapan: z = 0.62
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0.2676 = 0.7324
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.7324 di dalam jadual dan baca z.
z = 0.62
Jawapan
z = 0.62
8.Taburan normal
Jawapan: x = 182.7 cm
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.75
z daripada jadual
z ≈ 0.67
Kembali kepada unit asal
x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm
Jawapan
x = 182.7 cm
9.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 5.926 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 10, t = 1.812
Margin ralat
E = 1.812·1.6/√11 = 0.8741
Selang
6.8 ± 0.8741 → [5.926, 7.674]
Jawapan
had bawah = 5.926 mmHg
10.Selang keyakinan
Jawapan: n = 312
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.96·18/2)² = 311.2
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 312
Jawapan
n = 312
11.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 0.7
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714
Statistik ujian
t = (500.4 − 500)/0.5714 = 0.7
Jawapan
t = 0.7
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
12.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 64
Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2.326 + 1.645)·10/5)² = 63.08
Bundarkan ke atas
n = 64
Jawapan
n = 64
13.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9947
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 129/6 = 21.5
ȳ = 736/6 = 122.7
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 900
Syy = Σ(y − ȳ)² = 5197
Pekali korelasi
r = 900/√(157.5·5197) = 0.9947
Jawapan
r = 0.9947
14.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 20.22
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 110/6 = 18.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Garis regresi
b = −33/17.5 = −1.886
a = 18.33 − (−1.886)·3.5 = 24.93
ŷ = 24.93 − 1.886·x
Ramalan
ŷ = 24.93 + (−1.886)·2.5 = 20.22
Jawapan
ŷ = 20.22
15.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 3.75
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
bandar: 40·24/120 = 8, 40·36/120 = 12, 40·60/120 = 20
luar bandar: 80·24/120 = 16, 80·36/120 = 24, 80·60/120 = 40
Statistik khi kuasa dua
χ² = (6 − 8)²/8 + (9 − 12)²/12 + (25 − 20)²/20 + (18 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24 + (35 − 40)²/40
χ² = 3.75
Jawapan
χ² = 3.75
df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.
16.Ujian khi kuasa dua
Jawapan: χ² = 3.73
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Kiraan jangkaan
umur 18–30: 24, 56
umur 31–50: 18, 42
umur 51+: 18, 42
Statistik khi kuasa dua
χ² = (30 − 24)²/24 + (50 − 56)²/56 + (14 − 18)²/18 + (46 − 42)²/42 + (16 − 18)²/18 + (44 − 42)²/42
χ² = 3.73
Keputusan
df = 2, χ²crit = 9.210
3.73 < 9.210
Jawapan
χ² = 3.73
χ² berada di bawah nilai genting, maka H₀ tidak ditolak: tiada bukti yang signifikan tentang hubungan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology