Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi selanjar
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan hasil tambah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Mula, tamat dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Langkah ke dalam e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem tertib pertama
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi tertib pertama
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoid melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitud siri Fourier
segi empat ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segi tiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; rentetan denyut: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Kaedah
Lakarkan kedua-dua isyarat dan catat di mana setiap satu bukan sifar.
Balikkan h dan gelongsorkannya: bagi setiap masa output, cari julat di mana kedua-dua isyarat bertindih.
Darab dan tambah (diskret) atau darab dan kamirkan (selanjar) pada pertindihan itu sahaja.
Semak hasilnya: output bermula pada hasil tambah masa mula, berakhir pada hasil tambah masa tamat, dan luas atau hasil tambahnya ialah hasil darab luas atau hasil tambah input.
2Soalan latihan
1.Konvolusi & sistem LTISederhana
Sistem mempunyai sambutan impuls h(t) = e−0.5tu(t). Inputnya ialah langkah x(t) = 4·u(t). Cari output y(8) pada t = 8 s.
h(t) = e−0.5tu(t)x(t) = 4·u(t)t = 8 s
y(8) =
2.Konvolusi & sistem LTISukar
Gelombang segi tiga naik dan turun secara linear antara −10 dan +10 dengan tempoh T = 4 ms. Cari amplitud c5 komponen Fouriernya pada 1250 Hz.
±10T = 4 msf = 1250 Hz
c5 =
3.Transformasi LaplaceSederhana
F(s) = (5s + 4)/(s² + 10s + 24). Transformasi songsangnya berbentuk f(t) = A·e−4t + B·e−6t. Cari pekali A dengan pecahan separa.
F(s) = (5s + 4)/(s² + 10s + 24)
A =
4.Transformasi LaplaceSukar
Satu sistem mematuhi y″ + 9y′ + 18y = 27·u(t). Ia bermula dari keadaan rehat (y(0) = 0, y′(0) = 0) dan masukannya ialah langkah u(t) = 2 untuk t ≥ 0. Gunakan transformasi Laplace untuk mencari keluaran y(0.25).
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 5/(s² + 3s + 5) dan menerima input langkah unit. Cari peratusan lajakan %OS bagi sambutan langkah.
G(s) = 5/(s² + 3s + 5)
%OS = %
6.Sambutan langkahSukar
Jisim m = 2 kg tergantung pada spring k = 800 N/m dengan peredam likat c = 12 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Pada keadaan rehat dalam keseimbangan, daya malar F = 25 N dikenakan secara tiba-tiba. Cari sesaran terbesar xmax dalam mm.
m = 2 kgk = 800 N/mc = 12 N·s/mF = 25 N
xmax = mm
7.Plot Bode dan marginSederhana
penapis laluan rendah RC yang ditunjukkan mempunyai R = 4.7 kΩ, C = 1 nF. Input sinusoid 8.5 kHz dikenakan. Cari anjakan fasa φ bagi vout relatif kepada vin, dalam darjah.
R = 4.7 kΩC = 1 nFf = 8.5 kHz
φ = °
8.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = 156/(s(s + 3)(s + 10)). Cari frekuensi lintasan fasa ω180, di mana ∠L(jω) = −180°.
L(s) = 156/(s(s + 3)(s + 10))
ω180 = rad/s
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: y(8) = 7.853
Konvolusi selanjar: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, gelongsorkan ke kedudukan t dan kamirkan hasil darab bahagian yang bertindih. Untuk isyarat kausal kamiran berjalan dari 0 hingga t. Keputusan berguna: luas y ialah luas x darab luas h; jika x berlangsung dari t₁ hingga t₂ dan h dari t₃ hingga t₄, y berlangsung dari t₁ + t₃ hingga t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan langkah setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Konvolusi dengan langkah
y(t) = 4·∫₀ᵗ e−0.5τ dτ = (4/0.5)·(1 − e−0.5t)
Nilaikan
y(8) = 8·(1 − e−4) = 7.853
Jawapan
y(8) = 7.853
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: c5 = 0.3242
Sambutan impuls dan siri Fourier: sambutan impuls h(t) menerangkan sistem LTI dengan lengkap: bagi y′ + a·y = b·x ia ialah h(t) = b·e−atu(t), dan bagi y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ia ialah h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoid cos ωt melaluinya dengan gandaan |H(jω)| dan fasa ∠H(jω), dengan H ialah transformasi Fourier bagi h. Isyarat berkala ialah hasil tambah harmonik pada k/T: gelombang segi empat ±A hanya mempunyai harmonik ganjil dengan amplitud 4A/(kπ), gelombang segi tiga berpuncak A mempunyai 8A/(π²k²), dan rentetan denyut setinggi A dengan kitar tugas D mempunyai min A·D dan harmonik (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Nombor harmonik
f₀ = 1/T = 250 Hz → k = 5
Amplitud
c5 = 8·10/(π²·5²) = 0.3242
Jawapan
c5 = 0.3242
3.Transformasi Laplace
Jawapan: A = −8
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 10s + 24 = (s + 4)(s + 6)
F(s) = A/(s + 4) + B/(s + 6)
Petua tutup
Darabkan dengan (s + 4) dan tetapkan s = −4: sebutan B lenyap.
A = (5s + 4)/(s + 6) |s = −4 = −16/2 = −8
Jawapan
A = −8
(B = 13, maka f(t) = −8·e−4t + 13·e−6t)
4.Transformasi Laplace
Jawapan: y(0.25) = 0.8352
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaan
Y(s) = 54/(s(s + 3)(s + 6))
Pecahan separa
A = 54/(3·6) = 3
B = 54/((−3)·3) = −6
C = 54/((−6)·(−3)) = 3
Pengeluaran
y(t) = 3 − 6·e−3t + 3·e−6t
y(0.25) = 0.8352
Jawapan
y(0.25) = 0.8352
5.Sambutan langkah
Jawapan: %OS = 5.833 %
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 5 → ωₙ = 2.236 rad/s
2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·2.236) = 0.6708
Keputusan
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−2.842 = 5.833 %
Jawapan
%OS = 5.833 %
6.Sambutan langkah
Jawapan: xmax = 50.65 mm
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Frekuensi tabii dan nisbah redaman
ωₙ = √(k/m) = √(800/2) = 20 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 12/(2·√(800·2)) = 0.15
Keputusan
xst = F/k = 25/800 m = 31.25 mm
%OS = 62.09 %
xmax = 31.25·(1 + 0.6209) = 50.65 mm
Jawapan
xmax = 50.65 mm
7.Plot Bode dan margin
Jawapan: φ = −14.09 °
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Frekuensi sudut
ωc = 1/(RC) = 1/(4700·1 × 10⁻⁹) = 212766 rad/s
fc = 33863 Hz → f/fc = 8500/33863 = 0.251
Fasa
φ = − atan(0.251) = −14.09°
Jawapan
φ = −14.09°
8.Plot Bode dan margin
Jawapan: ω180 = 5.477 rad/s
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.