Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi selanjar
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan hasil tambah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Mula, tamat dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Langkah ke dalam e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem tertib pertama
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi tertib pertama
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoid melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitud siri Fourier
segi empat ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segi tiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; rentetan denyut: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Kaedah
Lakarkan kedua-dua isyarat dan catat di mana setiap satu bukan sifar.
Balikkan h dan gelongsorkannya: bagi setiap masa output, cari julat di mana kedua-dua isyarat bertindih.
Darab dan tambah (diskret) atau darab dan kamirkan (selanjar) pada pertindihan itu sahaja.
Semak hasilnya: output bermula pada hasil tambah masa mula, berakhir pada hasil tambah masa tamat, dan luas atau hasil tambahnya ialah hasil darab luas atau hasil tambah input.
2Soalan latihan
1.Konvolusi & sistem LTISederhana
Sistem mempunyai sambutan impuls h(t) = e−2tu(t). Inputnya ialah langkah x(t) = 2·u(t). Cari output y(0.25) pada t = 0.25 s.
h(t) = e−2tu(t)x(t) = 2·u(t)t = 0.25 s
y(0.25) =
2.Konvolusi & sistem LTISukar
Rentetan denyut mempunyai ketinggian 3, lebar denyut 1.5 ms dan tempoh 5 ms. Cari amplitud c3 harmonik nombor 3, pada 600 Hz.
A = 3τ = 1.5 msT = 5 ms
c3 =
3.Transformasi LaplaceSederhana
F(s) = (s + 31)/(s² + 9s + 8). Transformasi songsangnya berbentuk f(t) = A·e−t + B·e−8t. Cari pekali A dengan pecahan separa.
F(s) = (s + 31)/(s² + 9s + 8)
A =
4.Transformasi LaplaceSukar
Selesaikan y″ + 9y′ + 20y = 0 dengan y(0) = −6 dan y′(0) = 15 menggunakan transformasi Laplace, dan cari y(0.1).
y″ + 9y′ + 20y = 0y(0) = −6y′(0) = 15t = 0.1 s
y(0.1) =
5.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 27/(s² + 4s + 27) dan menerima input langkah unit. Kutubnya ialah s = σ ± jωd. Cari bahagian nyata σ.
G(s) = 27/(s² + 4s + 27)
σ =
6.Sambutan langkahSukar
Jisim m = 5 kg tergantung pada spring k = 200 N/m dengan peredam likat c = 6 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Pada keadaan rehat dalam keseimbangan, daya malar F = 10 N dikenakan secara tiba-tiba. Cari masa tp apabila sesaran paling besar.
m = 5 kgk = 200 N/mc = 6 N·s/mF = 10 N
tp = s
7.Plot Bode dan marginSederhana
Cari magnitud tepat |G(jω)| bagi G(s) = 1140/((s + 19)(s + 20)) pada ω = 2 rad/s, dalam dB.
G(s) = 1140/((s + 19)(s + 20))ω = 2 rad/s
|G(jω)| = dB
8.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = 270/(s(s + 10)). Cari margin fasa PM dalam darjah.
L(s) = 270/(s(s + 10))
PM = °
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: y(0.25) = 0.3935
Konvolusi selanjar: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, gelongsorkan ke kedudukan t dan kamirkan hasil darab bahagian yang bertindih. Untuk isyarat kausal kamiran berjalan dari 0 hingga t. Keputusan berguna: luas y ialah luas x darab luas h; jika x berlangsung dari t₁ hingga t₂ dan h dari t₃ hingga t₄, y berlangsung dari t₁ + t₃ hingga t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan langkah setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Konvolusi dengan langkah
y(t) = 2·∫₀ᵗ e−2τ dτ = (2/2)·(1 − e−2t)
Nilaikan
y(0.25) = 1·(1 − e−0.5) = 0.3935
Jawapan
y(0.25) = 0.3935
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: c3 = 0.1967
Sambutan impuls dan siri Fourier: sambutan impuls h(t) menerangkan sistem LTI dengan lengkap: bagi y′ + a·y = b·x ia ialah h(t) = b·e−atu(t), dan bagi y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ia ialah h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoid cos ωt melaluinya dengan gandaan |H(jω)| dan fasa ∠H(jω), dengan H ialah transformasi Fourier bagi h. Isyarat berkala ialah hasil tambah harmonik pada k/T: gelombang segi empat ±A hanya mempunyai harmonik ganjil dengan amplitud 4A/(kπ), gelombang segi tiga berpuncak A mempunyai 8A/(π²k²), dan rentetan denyut setinggi A dengan kitar tugas D mempunyai min A·D dan harmonik (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Kitar tugas
D = 1.5/5 = 0.3
Amplitud harmonik
c3 = (2·3/(3π))·|sin(3π·0.3)| = 0.1967
Jawapan
c3 = 0.1967
3.Transformasi Laplace
Jawapan: A = 4.286
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 9s + 8 = (s + 1)(s + 8)
F(s) = A/(s + 1) + B/(s + 8)
Petua tutup
Darabkan dengan (s + 1) dan tetapkan s = −1: sebutan B lenyap.
A = (s + 31)/(s + 8) |s = −1 = 30/7 = 4.286
Jawapan
A = 4.286
(B = −3.286, maka f(t) = 4.286·e−t − 3.286·e−8t)
4.Transformasi Laplace
Jawapan: y(0.1) = −4.596
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaan
s²Y − (−6)s − 15 + 9(sY − (−6)) + 20Y = 0
Y(s) = (−6s − 39)/((s + 4)(s + 5))
Pecahan separa
A = −15/1 = −15
B = −9/(−1) = 9
Keputusan
y(t) = −15·e−4t + 9·e−5t
y(0.1) = −4.596
Jawapan
y(0.1) = −4.596
Semak: y(0) = A + B = −6.
5.Sambutan langkah
Jawapan: σ = −2
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 27 → ωₙ = 5.196 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·5.196) = 0.3849
Keputusan
σ = −ζωₙ = −4/2 = −2
Jawapan
σ = −2
6.Sambutan langkah
Jawapan: tp = 0.499 s
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Frekuensi tabii dan nisbah redaman
ωₙ = √(k/m) = √(200/5) = 6.325 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 6/(2·√(200·5)) = 0.09487
Keputusan
ωd = 6.296 rad/s
tp = π/ωd = 0.499 s
Jawapan
tp = 0.499 s
7.Plot Bode dan margin
Jawapan: |G(jω)| = 9.451 dB
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.