Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi selanjar
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan hasil tambah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Mula, tamat dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Langkah ke dalam e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem tertib pertama
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi tertib pertama
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoid melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitud siri Fourier
segi empat ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segi tiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; rentetan denyut: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Kaedah
Lakarkan kedua-dua isyarat dan catat di mana setiap satu bukan sifar.
Balikkan h dan gelongsorkannya: bagi setiap masa output, cari julat di mana kedua-dua isyarat bertindih.
Darab dan tambah (diskret) atau darab dan kamirkan (selanjar) pada pertindihan itu sahaja.
Semak hasilnya: output bermula pada hasil tambah masa mula, berakhir pada hasil tambah masa tamat, dan luas atau hasil tambahnya ialah hasil darab luas atau hasil tambah input.
2Soalan latihan
1.Konvolusi & sistem LTISederhana
Denyut x(t) = 2 untuk 0 ≤ t < 3 s dikonvolusikan dengan h(t), segi tiga yang jatuh secara linear dari 2 pada t = 0 ke 0 pada t = 1 s. Cari luas Ay di bawah y(t) = x(t) ∗ h(t).
x(t) = 2, 0 ≤ t < 3 sh(0) = 2, h(1) = 0
Ay =
2.Konvolusi & sistem LTISukar
Sistem mematuhi y[n] = −0.8·y[n − 1] + 4·x[n] dan bermula dalam keadaan rehat. Cari sampel sambutan impulsnya h[5].
y[n] = −0.8y[n − 1] + 4x[n]x[n] = δ[n]
h[5] =
3.Transformasi LaplaceSederhana
Cari f(t) bagi F(s) = (4s + 23)/(s² + 6s + 9) dan nilaikan f(0.4).
F(s) = (4s + 23)/(s² + 6s + 9)t = 0.4 s
f(0.4) =
4.Transformasi LaplaceSukar
Selesaikan y″ + 4y′ + 3y = 0 dengan y(0) = −1 dan y′(0) = −13 menggunakan transformasi Laplace, dan cari y(0.2).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = −1y′(0) = −13t = 0.2 s
y(0.2) =
5.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 198/(s² + 3s + 66) dan menerima input langkah unit. Cari peratusan lajakan %OS bagi sambutan langkah.
G(s) = 198/(s² + 3s + 66)
%OS = %
6.Sambutan langkahSukar
Gelung suap balik negatif unit mempunyai G(s) = K/(s(s + 8)). Cari gandaan K yang memberi sambutan langkah dengan lajakan 20 %.
G(s) = K/(s(s + 8))%OS = 20 %
K =
7.Plot Bode dan marginSederhana
penapis laluan tinggi RC yang ditunjukkan mempunyai R = 2.2 kΩ, C = 10 nF. Input sinusoid 1.4 kHz dikenakan. Cari anjakan fasa φ bagi vout relatif kepada vin, dalam darjah.
R = 2.2 kΩC = 10 nFf = 1.4 kHz
φ = °
8.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = 962/(s(s + 9)(s + 10)). Cari margin gandaan GM dalam dB.
L(s) = 962/(s(s + 9)(s + 10))
GM = dB
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: Ay = 6
Konvolusi selanjar: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, gelongsorkan ke kedudukan t dan kamirkan hasil darab bahagian yang bertindih. Untuk isyarat kausal kamiran berjalan dari 0 hingga t. Keputusan berguna: luas y ialah luas x darab luas h; jika x berlangsung dari t₁ hingga t₂ dan h dari t₃ hingga t₄, y berlangsung dari t₁ + t₃ hingga t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan langkah setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Luas input
∫x dt = 2·3 = 6
∫h dt = ½·1·2 = 1
Luas output
Ay = 6·1 = 6
Jawapan
Ay = 6
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: h[5] = −1.311
Sambutan impuls dan siri Fourier: sambutan impuls h(t) menerangkan sistem LTI dengan lengkap: bagi y′ + a·y = b·x ia ialah h(t) = b·e−atu(t), dan bagi y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ia ialah h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoid cos ωt melaluinya dengan gandaan |H(jω)| dan fasa ∠H(jω), dengan H ialah transformasi Fourier bagi h. Isyarat berkala ialah hasil tambah harmonik pada k/T: gelombang segi empat ±A hanya mempunyai harmonik ganjil dengan amplitud 4A/(kπ), gelombang segi tiga berpuncak A mempunyai 8A/(π²k²), dan rentetan denyut setinggi A dengan kitar tugas D mempunyai min A·D dan harmonik (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Lelar
h[0] = 4
h[1] = −3.2
h[2] = 2.56
h[3] = −2.048
h[4] = 1.638
h[5] = −1.311
Keputusan
h[5] = 4·(−0.8)5 = −1.311
Jawapan
h[5] = −1.311
3.Transformasi Laplace
Jawapan: f(0.4) = 2.53
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 6s + 9 = (s + 3)²
Pecahan separa
4s + 23 = 4(s + 3) + 11
F(s) = 4/(s + 3) + 11/(s + 3)²
Transformasi songsang
f(t) = 4·e−3t + 11·t·e−3t
f(0.4) = (4 + 11·0.4)·e−3·0.4 = 2.53
Jawapan
f(0.4) = 2.53
4.Transformasi Laplace
Jawapan: y(0.2) = −2.708
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaan
s²Y − (−1)s − (−13) + 4(sY − (−1)) + 3Y = 0
Y(s) = (−s − 17)/((s + 1)(s + 3))
Pecahan separa
A = −16/2 = −8
B = −14/(−2) = 7
Keputusan
y(t) = −8·e−t + 7·e−3t
y(0.2) = −2.708
Jawapan
y(0.2) = −2.708
Semak: y(0) = A + B = −1.
5.Sambutan langkah
Jawapan: %OS = 55.42 %
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 66 → ωₙ = 8.124 rad/s
2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·8.124) = 0.1846
Keputusan
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−0.5902 = 55.42 %
Jawapan
%OS = 55.42 %
6.Sambutan langkah
Jawapan: K = 76.96
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Fungsi pindah gelung tertutup
T(s) = K/(s² + 8s + K)
Nisbah redaman daripada lajakan
ζ = −ln(0.2)/√(π² + ln²(0.2)) = 0.4559
Gandaan
ωₙ = 8/(2ζ) = 8.773 rad/s
K = ωₙ² = 76.96
Jawapan
K = 76.96
7.Plot Bode dan margin
Jawapan: φ = 79.05 °
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Frekuensi sudut
ωc = 1/(RC) = 1/(2200·1 × 10⁻⁸) = 45455 rad/s
fc = 7234 Hz → f/fc = 1400/7234 = 0.1935
Fasa
φ = 90° − atan(0.1935) = 79.05°
Jawapan
φ = 79.05°
8.Plot Bode dan margin
Jawapan: GM = 4.996 dB
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.