Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi selanjar
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan hasil tambah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Mula, tamat dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Langkah ke dalam e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem tertib pertama
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi tertib pertama
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoid melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitud siri Fourier
segi empat ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segi tiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; rentetan denyut: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Kaedah
Lakarkan kedua-dua isyarat dan catat di mana setiap satu bukan sifar.
Balikkan h dan gelongsorkannya: bagi setiap masa output, cari julat di mana kedua-dua isyarat bertindih.
Darab dan tambah (diskret) atau darab dan kamirkan (selanjar) pada pertindihan itu sahaja.
Semak hasilnya: output bermula pada hasil tambah masa mula, berakhir pada hasil tambah masa tamat, dan luas atau hasil tambahnya ialah hasil darab luas atau hasil tambah input.
2Soalan latihan
1.Konvolusi & sistem LTISederhana
Denyut x(t) = 5 untuk 0 ≤ t < 2 s dikonvolusikan dengan denyut h(t) = 2 untuk 0 ≤ t < 4 s. Cari luas Ay di bawah y(t) = x(t) ∗ h(t).
x(t) = 5, 0 ≤ t < 2 sh(t) = 2, 0 ≤ t < 4 s
Ay =
2.Konvolusi & sistem LTISukar
Sistem mematuhi y[n] = −0.8·y[n − 1] + 2·x[n] dan bermula dalam keadaan rehat. Cari sampel sambutan impulsnya h[2].
y[n] = −0.8y[n − 1] + 2x[n]x[n] = δ[n]
h[2] =
3.Transformasi LaplaceSederhana
F(s) = (3s + 8)/(s² + 4s + 3). Transformasi songsangnya berbentuk f(t) = A·e−t + B·e−3t. Cari pekali A dengan pecahan separa.
F(s) = (3s + 8)/(s² + 4s + 3)
A =
4.Transformasi LaplaceSukar
Selesaikan y″ + 6y′ + 8y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = −13 menggunakan transformasi Laplace, dan cari y(0.3).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 1y′(0) = −13t = 0.3 s
y(0.3) =
5.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 21/(s² + 6s + 21) dan menerima input langkah unit. Cari peratusan lajakan %OS bagi sambutan langkah.
G(s) = 21/(s² + 6s + 21)
%OS = %
6.Sambutan langkahSukar
Gelung suap balik negatif unit mempunyai G(s) = K/(s(s + 8)). Cari gandaan K yang memberi sambutan langkah dengan lajakan 25 %.
G(s) = K/(s(s + 8))%OS = 25 %
K =
7.Plot Bode dan marginSederhana
Cari fasa ∠G(jω) bagi G(s) = 24(s + 20)/(s(s + 11)) pada ω = 30 rad/s, dalam darjah.
G(s) = 24(s + 20)/(s(s + 11))ω = 30 rad/s
∠G(jω) = °
8.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = 40/(s(s + 2)(s + 8)). Cari frekuensi lintasan fasa ω180, di mana ∠L(jω) = −180°.
L(s) = 40/(s(s + 2)(s + 8))
ω180 = rad/s
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: Ay = 80
Konvolusi selanjar: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, gelongsorkan ke kedudukan t dan kamirkan hasil darab bahagian yang bertindih. Untuk isyarat kausal kamiran berjalan dari 0 hingga t. Keputusan berguna: luas y ialah luas x darab luas h; jika x berlangsung dari t₁ hingga t₂ dan h dari t₃ hingga t₄, y berlangsung dari t₁ + t₃ hingga t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan langkah setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Luas input
∫x dt = 5·2 = 10
∫h dt = 2·4 = 8
Luas output
Ay = 10·8 = 80
Jawapan
Ay = 80
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: h[2] = 1.28
Sambutan impuls dan siri Fourier: sambutan impuls h(t) menerangkan sistem LTI dengan lengkap: bagi y′ + a·y = b·x ia ialah h(t) = b·e−atu(t), dan bagi y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ia ialah h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoid cos ωt melaluinya dengan gandaan |H(jω)| dan fasa ∠H(jω), dengan H ialah transformasi Fourier bagi h. Isyarat berkala ialah hasil tambah harmonik pada k/T: gelombang segi empat ±A hanya mempunyai harmonik ganjil dengan amplitud 4A/(kπ), gelombang segi tiga berpuncak A mempunyai 8A/(π²k²), dan rentetan denyut setinggi A dengan kitar tugas D mempunyai min A·D dan harmonik (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Lelar
h[0] = 2
h[1] = −1.6
h[2] = 1.28
Keputusan
h[2] = 2·(−0.8)2 = 1.28
Jawapan
h[2] = 1.28
3.Transformasi Laplace
Jawapan: A = 2.5
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 4s + 3 = (s + 1)(s + 3)
F(s) = A/(s + 1) + B/(s + 3)
Petua tutup
Darabkan dengan (s + 1) dan tetapkan s = −1: sebutan B lenyap.
A = (3s + 8)/(s + 3) |s = −1 = 5/2 = 2.5
Jawapan
A = 2.5
(B = 0.5, maka f(t) = 2.5·e−t + 0.5·e−3t)
4.Transformasi Laplace
Jawapan: y(0.3) = −0.8131
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaan
s²Y − 1s − (−13) + 6(sY − 1) + 8Y = 0
Y(s) = (s − 7)/((s + 2)(s + 4))
Pecahan separa
A = −9/2 = −4.5
B = −11/(−2) = 5.5
Keputusan
y(t) = −4.5·e−2t + 5.5·e−4t
y(0.3) = −0.8131
Jawapan
y(0.3) = −0.8131
Semak: y(0) = A + B = 1.
5.Sambutan langkah
Jawapan: %OS = 6.583 %
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 21 → ωₙ = 4.583 rad/s
2ζωₙ = 6 → ζ = 6/(2·4.583) = 0.6547
Keputusan
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−2.721 = 6.583 %
Jawapan
%OS = 6.583 %
6.Sambutan langkah
Jawapan: K = 98.17
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Fungsi pindah gelung tertutup
T(s) = K/(s² + 8s + K)
Nisbah redaman daripada lajakan
ζ = −ln(0.25)/√(π² + ln²(0.25)) = 0.4037
Gandaan
ωₙ = 8/(2ζ) = 9.908 rad/s
K = ωₙ² = 98.17
Jawapan
K = 98.17
7.Plot Bode dan margin
Jawapan: ∠G(jω) = −103.6 °
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.