Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi selanjar
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan hasil tambah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Mula, tamat dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Langkah ke dalam e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem tertib pertama
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi tertib pertama
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoid melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitud siri Fourier
segi empat ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segi tiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; rentetan denyut: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Kaedah
Lakarkan kedua-dua isyarat dan catat di mana setiap satu bukan sifar.
Balikkan h dan gelongsorkannya: bagi setiap masa output, cari julat di mana kedua-dua isyarat bertindih.
Darab dan tambah (diskret) atau darab dan kamirkan (selanjar) pada pertindihan itu sahaja.
Semak hasilnya: output bermula pada hasil tambah masa mula, berakhir pada hasil tambah masa tamat, dan luas atau hasil tambahnya ialah hasil darab luas atau hasil tambah input.
2Soalan latihan
1.Konvolusi & sistem LTISederhana
Denyut x(t) = 5 untuk 0 ≤ t < 0.5 s (sifar di tempat lain) dikenakan pada sistem dengan h(t) = e−5tu(t). Cari output y(1) pada t = 1 s, selepas denyut berakhir.
x(t) = 5, 0 ≤ t < 0.5 sh(t) = e−5tu(t)t = 1 s
y(1) =
2.Konvolusi & sistem LTISukar
Sistem mematuhi y[n] = 0.8·y[n − 1] + 2·x[n] dan bermula dalam keadaan rehat. Inputnya ialah langkah unit x[n] = u[n]. Cari y[5].
y[n] = 0.8y[n − 1] + 2x[n]x[n] = u[n]
y[5] =
3.Transformasi LaplaceSederhana
Cari f(t) bagi F(s) = (s + 29)/(s² + 2s + 1) dan nilaikan f(0.6).
F(s) = (s + 29)/(s² + 2s + 1)t = 0.6 s
f(0.6) =
4.Transformasi LaplaceSukar
Satu sistem diterangkan oleh persamaan pembezaan y″ + 4y′ + 5y = 7u, dengan masukan u(t) dan keluaran y(t). Cari fungsi pindahnya G(s) = Y(s)/U(s) (syarat awal sifar) dan nilaikan sambutan dedenyut g(t) pada t = 0.2 s. Cari g(0.2).
y″ + 4y′ + 5y = 7ut = 0.2 s
g(0.2) =
5.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 132/(s² + 8s + 44) dan menerima input langkah unit. Cari masa puncak tp bagi sambutan langkah.
G(s) = 132/(s² + 8s + 44)
tp = s
6.Sambutan langkahSukar
Jisim m = 5 kg tergantung pada spring k = 200 N/m dengan peredam likat c = 6 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Pada keadaan rehat dalam keseimbangan, daya malar F = 20 N dikenakan secara tiba-tiba. Cari masa tp apabila sesaran paling besar.
m = 5 kgk = 200 N/mc = 6 N·s/mF = 20 N
tp = s
7.Plot Bode dan marginSederhana
penapis laluan tinggi RC yang ditunjukkan mempunyai R = 10 kΩ, C = 22 nF. Input sinusoid 140 Hz dikenakan. Cari gandaan |H| = |vout/vin| dalam dB.
R = 10 kΩC = 22 nFf = 140 Hz
|H| = dB
8.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = 24/(s(s + 2)(s + 6)). Cari frekuensi lintasan fasa ω180, di mana ∠L(jω) = −180°.
L(s) = 24/(s(s + 2)(s + 6))
ω180 = rad/s
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: y(1) = 0.07535
Konvolusi selanjar: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, gelongsorkan ke kedudukan t dan kamirkan hasil darab bahagian yang bertindih. Untuk isyarat kausal kamiran berjalan dari 0 hingga t. Keputusan berguna: luas y ialah luas x darab luas h; jika x berlangsung dari t₁ hingga t₂ dan h dari t₃ hingga t₄, y berlangsung dari t₁ + t₃ hingga t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan langkah setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Output pada akhir denyut
y(0.5) = (5/5)(1 − e−2.5) = 0.9179
Reputan selepas denyut
y(1) = 0.9179·e−5·0.5 = 0.07535
Jawapan
y(1) = 0.07535
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: y[5] = 7.379
Sambutan impuls dan siri Fourier: sambutan impuls h(t) menerangkan sistem LTI dengan lengkap: bagi y′ + a·y = b·x ia ialah h(t) = b·e−atu(t), dan bagi y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ia ialah h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoid cos ωt melaluinya dengan gandaan |H(jω)| dan fasa ∠H(jω), dengan H ialah transformasi Fourier bagi h. Isyarat berkala ialah hasil tambah harmonik pada k/T: gelombang segi empat ±A hanya mempunyai harmonik ganjil dengan amplitud 4A/(kπ), gelombang segi tiga berpuncak A mempunyai 8A/(π²k²), dan rentetan denyut setinggi A dengan kitar tugas D mempunyai min A·D dan harmonik (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Lelar
y[0] = 2
y[1] = 3.6
y[2] = 4.88
y[3] = 5.904
y[4] = 6.723
y[5] = 7.379
Keputusan
y[5] = 2·(1 − (0.8)6)/(1 − 0.8) = 7.379
Jawapan
y[5] = 7.379
3.Transformasi Laplace
Jawapan: f(0.6) = 9.769
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 2s + 1 = (s + 1)²
Pecahan separa
s + 29 = 1(s + 1) + 28
F(s) = 1/(s + 1) + 28/(s + 1)²
Transformasi songsang
f(t) = e−t + 28·t·e−t
f(0.6) = (1 + 28·0.6)·e−0.6 = 9.769
Jawapan
f(0.6) = 9.769
4.Transformasi Laplace
Jawapan: g(0.2) = 0.9322
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Fungsi pindah
G(s) = Y(s)/U(s) = 7/(s² + 4s + 5)
Pecahan separa
s² + 4s + 5 = (s + 2)² + 1²
G(s) = (7/1)·1/((s + 2)² + 1²)
Sambutan dedenyut
g(t) = e−2t·(7·sin 1t)
g(0.2) = 0.9322
Jawapan
g(0.2) = 0.9322
5.Sambutan langkah
Jawapan: tp = 0.5937 s
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Frekuensi tabii dan nisbah redaman
ωₙ = √(k/m) = √(200/5) = 6.325 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 6/(2·√(200·5)) = 0.09487
Keputusan
ωd = 6.296 rad/s
tp = π/ωd = 0.499 s
Jawapan
tp = 0.499 s
7.Plot Bode dan margin
Jawapan: |H| = −14.43 dB
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Frekuensi sudut
ωc = 1/(RC) = 1/(10000·2.2 × 10⁻⁸) = 4545 rad/s
fc = 723.4 Hz → f/fc = 140/723.4 = 0.1935
Gandaan
|H| = 0.1935/√(1 + 0.1935²) = 0.19
20·log₁₀(0.19) = −14.43 dB
Jawapan
|H| = −14.43 dB
8.Plot Bode dan margin
Jawapan: ω180 = 3.464 rad/s
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.