Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi selanjar
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan hasil tambah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Mula, tamat dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Langkah ke dalam e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem tertib pertama
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi tertib pertama
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoid melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitud siri Fourier
segi empat ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segi tiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; rentetan denyut: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Kaedah
Lakarkan kedua-dua isyarat dan catat di mana setiap satu bukan sifar.
Balikkan h dan gelongsorkannya: bagi setiap masa output, cari julat di mana kedua-dua isyarat bertindih.
Darab dan tambah (diskret) atau darab dan kamirkan (selanjar) pada pertindihan itu sahaja.
Semak hasilnya: output bermula pada hasil tambah masa mula, berakhir pada hasil tambah masa tamat, dan luas atau hasil tambahnya ialah hasil darab luas atau hasil tambah input.
2Soalan latihan
1.Konvolusi & sistem LTISederhana
Denyut x(t) = 1 untuk 0 ≤ t < 4 s dikonvolusikan dengan h(t), segi tiga yang jatuh secara linear dari 3 pada t = 0 ke 0 pada t = 4 s. Cari luas Ay di bawah y(t) = x(t) ∗ h(t).
x(t) = 1, 0 ≤ t < 4 sh(0) = 3, h(4) = 0
Ay =
2.Konvolusi & sistem LTISukar
Gelombang segi tiga naik dan turun secara linear antara −3 dan +3 dengan tempoh T = 2 ms. Cari amplitud c5 komponen Fouriernya pada 2500 Hz.
±3T = 2 msf = 2500 Hz
c5 =
3.Transformasi LaplaceSederhana
F(s) = (3s + 38)/(s² + 8s + 7). Transformasi songsangnya berbentuk f(t) = A·e−t + B·e−7t. Cari pekali A dengan pecahan separa.
F(s) = (3s + 38)/(s² + 8s + 7)
A =
4.Transformasi LaplaceSukar
Selesaikan y″ + 7y′ + 12y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 15 menggunakan transformasi Laplace, dan cari y(0.2).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = 15t = 0.2 s
y(0.2) =
5.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 38/(s² + 9s + 76) dan menerima input langkah unit. Cari nisbah redaman ζ.
G(s) = 38/(s² + 9s + 76)
ζ =
6.Sambutan langkahSukar
Gelung suap balik negatif unit mempunyai G(s) = 205/(s(s + 4)). Cari masa pengenapan 2 % ts bagi sambutan langkah gelung tertutup, menggunakan ts ≈ 4/(ζωₙ).
G(s) = 205/(s(s + 4))
ts = s
7.Plot Bode dan marginSederhana
penapis laluan tinggi RC yang ditunjukkan mempunyai R = 3.3 kΩ, C = 2.2 nF. Input sinusoid 4.4 kHz dikenakan. Cari gandaan |H| = |vout/vin| dalam dB.
R = 3.3 kΩC = 2.2 nFf = 4.4 kHz
|H| = dB
8.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = K/(s(s + 1)(s + 3)). Cari gandaan K yang memberi margin gandaan 20 dB.
L(s) = K/(s(s + 1)(s + 3))GM = 20 dB
K =
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: Ay = 24
Konvolusi selanjar: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, gelongsorkan ke kedudukan t dan kamirkan hasil darab bahagian yang bertindih. Untuk isyarat kausal kamiran berjalan dari 0 hingga t. Keputusan berguna: luas y ialah luas x darab luas h; jika x berlangsung dari t₁ hingga t₂ dan h dari t₃ hingga t₄, y berlangsung dari t₁ + t₃ hingga t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan langkah setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Luas input
∫x dt = 1·4 = 4
∫h dt = ½·4·3 = 6
Luas output
Ay = 4·6 = 24
Jawapan
Ay = 24
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: c5 = 0.09727
Sambutan impuls dan siri Fourier: sambutan impuls h(t) menerangkan sistem LTI dengan lengkap: bagi y′ + a·y = b·x ia ialah h(t) = b·e−atu(t), dan bagi y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ia ialah h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoid cos ωt melaluinya dengan gandaan |H(jω)| dan fasa ∠H(jω), dengan H ialah transformasi Fourier bagi h. Isyarat berkala ialah hasil tambah harmonik pada k/T: gelombang segi empat ±A hanya mempunyai harmonik ganjil dengan amplitud 4A/(kπ), gelombang segi tiga berpuncak A mempunyai 8A/(π²k²), dan rentetan denyut setinggi A dengan kitar tugas D mempunyai min A·D dan harmonik (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Nombor harmonik
f₀ = 1/T = 500 Hz → k = 5
Amplitud
c5 = 8·3/(π²·5²) = 0.09727
Jawapan
c5 = 0.09727
3.Transformasi Laplace
Jawapan: A = 5.833
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 8s + 7 = (s + 1)(s + 7)
F(s) = A/(s + 1) + B/(s + 7)
Petua tutup
Darabkan dengan (s + 1) dan tetapkan s = −1: sebutan B lenyap.
A = (3s + 38)/(s + 7) |s = −1 = 35/6 = 5.833
Jawapan
A = 5.833
(B = −2.833, maka f(t) = 5.833·e−t − 2.833·e−7t)
4.Transformasi Laplace
Jawapan: y(0.2) = 3.187
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaan
s²Y − 2s − 15 + 7(sY − 2) + 12Y = 0
Y(s) = (2s + 29)/((s + 3)(s + 4))
Pecahan separa
A = 23/1 = 23
B = 21/(−1) = −21
Keputusan
y(t) = 23·e−3t − 21·e−4t
y(0.2) = 3.187
Jawapan
y(0.2) = 3.187
Semak: y(0) = A + B = 2.
5.Sambutan langkah
Jawapan: ζ = 0.5162
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 76 → ωₙ = 8.718 rad/s
2ζωₙ = 9 → ζ = 9/(2·8.718) = 0.5162
Keputusan
ζ = 0.5162
Jawapan
ζ = 0.5162
6.Sambutan langkah
Jawapan: ts = 2 s
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bagi gelung ini ζωₙ = a/2 walau apa pun K: menaikkan K menambah lajakan tetapi tidak memendekkan masa pengenapan.
7.Plot Bode dan margin
Jawapan: |H| = −14.12 dB
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Frekuensi sudut
ωc = 1/(RC) = 1/(3300·2.2 × 10⁻⁹) = 137741 rad/s
fc = 21922 Hz → f/fc = 4400/21922 = 0.2007
Gandaan
|H| = 0.2007/√(1 + 0.2007²) = 0.1968
20·log₁₀(0.1968) = −14.12 dB
Jawapan
|H| = −14.12 dB
8.Plot Bode dan margin
Jawapan: K = 1.2
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.