Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi selanjar
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan hasil tambah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Mula, tamat dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Langkah ke dalam e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem tertib pertama
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi tertib pertama
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoid melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitud siri Fourier
segi empat ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segi tiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; rentetan denyut: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Kaedah
Lakarkan kedua-dua isyarat dan catat di mana setiap satu bukan sifar.
Balikkan h dan gelongsorkannya: bagi setiap masa output, cari julat di mana kedua-dua isyarat bertindih.
Darab dan tambah (diskret) atau darab dan kamirkan (selanjar) pada pertindihan itu sahaja.
Semak hasilnya: output bermula pada hasil tambah masa mula, berakhir pada hasil tambah masa tamat, dan luas atau hasil tambahnya ialah hasil darab luas atau hasil tambah input.
2Soalan latihan
1.Konvolusi & sistem LTISederhana
Denyut x(t) = 1 untuk 0 ≤ t < 3 s dikonvolusikan dengan h(t), segi tiga yang jatuh secara linear dari 3 pada t = 0 ke 0 pada t = 1 s. Cari luas Ay di bawah y(t) = x(t) ∗ h(t).
x(t) = 1, 0 ≤ t < 3 sh(0) = 3, h(1) = 0
Ay =
2.Konvolusi & sistem LTISukar
Sistem mematuhi y[n] = 0.9·y[n − 1] + 4·x[n] dan bermula dalam keadaan rehat. Inputnya ialah langkah unit x[n] = u[n]. Cari y[4].
y[n] = 0.9y[n − 1] + 4x[n]x[n] = u[n]
y[4] =
3.Transformasi LaplaceSederhana
F(s) = (3s + 17)/(s² + 7s + 10). Transformasi songsangnya berbentuk f(t) = A·e−2t + B·e−5t. Cari pekali A dengan pecahan separa.
F(s) = (3s + 17)/(s² + 7s + 10)
A =
4.Transformasi LaplaceSukar
Selesaikan y″ + 7y′ + 10y = 0 dengan y(0) = 4 dan y′(0) = −11 menggunakan transformasi Laplace, dan cari y(0.2).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 4y′(0) = −11t = 0.2 s
y(0.2) =
5.Sambutan langkahSederhana
Sesebuah sistem mempunyai fungsi pindah G(s) = 98/(s² + 11s + 98) dan menerima input langkah unit. Cari masa pengenapan 2 % ts bagi sambutan langkah, menggunakan ts ≈ 4/(ζωₙ).
G(s) = 98/(s² + 11s + 98)
ts = s
6.Sambutan langkahSukar
Litar RLC sesiri dengan R = 71 Ω, L = 50 mH dan C = 10 µF disambungkan kepada langkah 5 V pada t = 0. Pemuat tanpa cas dan tiada arus mengalir sebelum langkah itu. Cari masa tp bagi puncak voltan pertama, dalam ms.
R = 71 ΩL = 50 mHC = 10 µFV = 5 V
tp = ms
7.Plot Bode dan marginSederhana
penapis laluan tinggi RC yang ditunjukkan mempunyai R = 47 kΩ, C = 2.2 nF. Input sinusoid 4.6 kHz dikenakan. Cari anjakan fasa φ bagi vout relatif kepada vin, dalam darjah.
R = 47 kΩC = 2.2 nFf = 4.6 kHz
φ = °
8.Plot Bode dan marginSukar
Gelung suap balik unit mempunyai fungsi pindah gelung terbuka L(s) = 120/(s(s + 6)(s + 8)). Cari frekuensi lintasan fasa ω180, di mana ∠L(jω) = −180°.
L(s) = 120/(s(s + 6)(s + 8))
ω180 = rad/s
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: Ay = 4.5
Konvolusi selanjar: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, gelongsorkan ke kedudukan t dan kamirkan hasil darab bahagian yang bertindih. Untuk isyarat kausal kamiran berjalan dari 0 hingga t. Keputusan berguna: luas y ialah luas x darab luas h; jika x berlangsung dari t₁ hingga t₂ dan h dari t₃ hingga t₄, y berlangsung dari t₁ + t₃ hingga t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan langkah setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Luas input
∫x dt = 1·3 = 3
∫h dt = ½·1·3 = 1.5
Luas output
Ay = 3·1.5 = 4.5
Jawapan
Ay = 4.5
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawapan: y[4] = 16.38
Sambutan impuls dan siri Fourier: sambutan impuls h(t) menerangkan sistem LTI dengan lengkap: bagi y′ + a·y = b·x ia ialah h(t) = b·e−atu(t), dan bagi y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ia ialah h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoid cos ωt melaluinya dengan gandaan |H(jω)| dan fasa ∠H(jω), dengan H ialah transformasi Fourier bagi h. Isyarat berkala ialah hasil tambah harmonik pada k/T: gelombang segi empat ±A hanya mempunyai harmonik ganjil dengan amplitud 4A/(kπ), gelombang segi tiga berpuncak A mempunyai 8A/(π²k²), dan rentetan denyut setinggi A dengan kitar tugas D mempunyai min A·D dan harmonik (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Lelar
y[0] = 4
y[1] = 7.6
y[2] = 10.84
y[3] = 13.76
y[4] = 16.38
Keputusan
y[4] = 4·(1 − (0.9)5)/(1 − 0.9) = 16.38
Jawapan
y[4] = 16.38
3.Transformasi Laplace
Jawapan: A = 3.667
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 7s + 10 = (s + 2)(s + 5)
F(s) = A/(s + 2) + B/(s + 5)
Petua tutup
Darabkan dengan (s + 2) dan tetapkan s = −2: sebutan B lenyap.
A = (3s + 17)/(s + 5) |s = −2 = 11/3 = 3.667
Jawapan
A = 3.667
(B = −0.6667, maka f(t) = 3.667·e−2t − 0.6667·e−5t)
4.Transformasi Laplace
Jawapan: y(0.2) = 2.379
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaan
s²Y − 4s − (−11) + 7(sY − 4) + 10Y = 0
Y(s) = (4s + 17)/((s + 2)(s + 5))
Pecahan separa
A = 9/3 = 3
B = −3/(−3) = 1
Keputusan
y(t) = 3·e−2t + e−5t
y(0.2) = 2.379
Jawapan
y(0.2) = 2.379
Semak: y(0) = A + B = 4.
5.Sambutan langkah
Jawapan: ts = 0.7273 s
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk piawai
Penyebut mesti sepadan dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 98 → ωₙ = 9.899 rad/s
2ζωₙ = 11 → ζ = 11/(2·9.899) = 0.5556
Keputusan
ζωₙ = 5.5 → ts ≈ 4/5.5 = 0.7273 s
Jawapan
ts = 0.7273 s
6.Sambutan langkah
Jawapan: tp = 2.569 ms
Sambutan langkah: sistem peringkat pertama G(s) = K/(τs + 1) menyambut langkah bersaiz U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ia mencapai 63.2 % daripada nilai akhir K·U selepas satu pemalar masa τ dan 98 % selepas 4τ. Sistem peringkat kedua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) mempunyai kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 sambutan langkah melajak: peratusan lajakan %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), masa puncak tp = π/ωd, dan masa pengenapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk mendapatkan ωₙ dan ζ. Bagi sistem jisim–spring–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); bagi litar RLC sesiri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.
Frekuensi sudut
ωc = 1/(RC) = 1/(47000·2.2 × 10⁻⁹) = 9671 rad/s
fc = 1539 Hz → f/fc = 4600/1539 = 2.989
Fasa
φ = 90° − atan(2.989) = 18.5°
Jawapan
φ = 18.5°
8.Plot Bode dan margin
Jawapan: ω180 = 6.928 rad/s
Sambutan frekuensi: gantikan s = jω dalam fungsi pindah. Magnitud dalam desibel ialah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa ialah hasil tambah sudut faktor pengatas tolak sudut faktor penyebut. Penapis RC atau RL peringkat pertama mempunyai frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); penapis laluan rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Dalam plot Bode asimptot (garis lurus) setiap kutub membengkokkan magnitud ke bawah sebanyak 20 dB/dekad pada frekuensi sudutnya, setiap sifar membengkokkannya ke atas sebanyak 20 dB/dekad, dan pengamir 1/s memberi −20 dB/dekad pada semua frekuensi. Lintasan gandaan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Lintasan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin gandaan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Gelung tertutup stabil apabila kedua-dua margin positif.