Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (−6, −6, 4) dan b = (0, −3, −6), dalam darjah.

a = (−6, −6, 4)b = (0, −3, −6)

θ = °

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (4, 0, 2), b = (1, 0, 2) dan c = (4, −3, 3).

a = (4, 0, 2)b = (1, 0, 2)c = (4, −3, 3)

V =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w dari dinding hingga 4.5 m dan beban titik P pada 3 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 6 mP = 45 kN pada 3 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 4.5 m

M_A = kN·m

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 3 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 1.5 m dari A dan beban teragih seragam w dari 2 m hingga hujung bebas pada 4 m. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 3 mAC = 4 mP = 40 kN pada 1.5 mw = 3 kN/m dari 2 hingga 4 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

G: 10 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 30 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 6 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3.6 m dan tali ikat mengufuk DE 1 m di atas tanah. Beban menegak 8 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.2 m (secara mengufuk) dari A. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 8 kNAB = 6 mketinggian C = 3.6 mketinggian DE = 1 mjarak mengufuk A ke K = 1.2 m

T = kN

8.Rangka & mesinSukar

Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 150 mm antara pin. Sambungan B berada 15 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 1500 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.

Q = 1500 NAB = BC = 150 mmh = 15 mm

F = N

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

20 kN @ 5 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 3 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 20 kN pada 3 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 200 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 110 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 14 mm. Cari ketinggian ȳ sentroid di atas tepi bawah.

b = 200 mmh = 110 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 20 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_bawah = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 95.47 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−6)·0 + (−6)·(−3) + 4·(−6) = −6

Magnitud

|a| = √((−6)² + (−6)² + 4²) = 9.381

|b| = √(0² + (−3)² + (−6)²) = 6.708

Sudut

cos θ = −6/(9.381·6.708) = −0.09535

θ = arccos(−0.09535) = 95.47°

Jawapan

θ = 95.47°

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 18

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 0·3 − 2·(−3) = 6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·4 − 1·3 = 5

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 1·(−3) − 0·4 = −3

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = 4·6 + 0·5 + 2·(−3) = 18

V = |18| = 18

Jawapan

V = 18

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 165.4 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 3·4.5 = 13.5 kN, x̄ = 2.25 m

Momen pada dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 45·3 + 13.5·2.25 = 165.4 kN·m

Jawapan

M_A = 165.4 kN·m

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 20 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban teragih

W = 3·2 = 6 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 40·1.5 + 6·3

R_B = 78/3 = 26 kN

R_A = 46 − 26 = 20 kN

Jawapan

R_A = 20 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 5 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 5 kN (T), FG: 5 kN (C), GH: 5 kN (C), AF: 7.071 kN (C), HE: 7.071 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 7.071 kN (C), DG: 7.071 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 7.5 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 37.5 kN (C), GH: 57.5 kN (C), AF: 53.03 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 22.5 kN (T), CG: 0, DH: 27.5 kN (T), BG: 31.82 kN (C), DG: 3.536 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: T = 1.846 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Seluruh rangka: momen pada A

B_y = 8·1.2/6 = 1.6 kN

Kaki BC: momen pada C

1.6·3 = T·2.6

T = 1.846 kN

Jawapan

T = 1.846 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: F = 301.5 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Sudut penghubung

sin θ = 15/150 = 0.1, θ = 5.739°

Daya penghubung

F_link = Q/cos θ = 1508 N

Daya pada B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1500·tan θ = 301.5 N

Jawapan

F = 301.5 N

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 16.67 kN, R₂ = 23.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 16.67, M_C = 33.33 kN·m, M_D = 30, M_E = 26.67, M_F = 23.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 33.33 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 105 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·3 + 6·10·5

R_B = 360/10 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 36 = 44 kN

Potong pada x = 3 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 44·3 − 6·3·1.5 = 105 kN·m

Jawapan

M_x = 105 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: ȳ = 33.94 mm

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 200·14 = 2800 mm², y₁ = 7 mm

dua kaki: A₂ = 2·14·96 = 2688 mm², y₂ = 14 + 96/2 = 62 mm

Sentroid

ȳ = (2800·7 + 2688·62)/5488 = 33.94 mm

Jawapan

ȳ = 33.94 mm

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 130 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207.5 mm

web: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·207.5 + 2400·100)/6900 = 170.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·15³/12 + 4500·(207.5 − 170.1)² = 6.376 × 10⁶ mm⁴

web: 12·200³/12 + 2400·(100 − 170.1)² = 1.98 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.376 × 10⁶ + 1.98 × 10⁷ = 2.617 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 170.1 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·170.1/2.617 × 10⁷ = 130 MPa

Jawapan

σ_bawah = 130 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics