Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (0, 6, −2) dan b = (−5, 6, 5), dalam darjah.

a = (0, 6, −2)b = (−5, 6, 5)

θ = °

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (2, 4, −2) dan b = (2, 1, −1) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂_y.

a = (2, 4, −2)b = (2, 1, −1)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 4 mP₁ = 20 kN pada 1.5 mP₂ = 50 kN pada 2 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (3 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (10 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 9 m dari A, beban teragih seragam w pada seluruh bahagian CD dan beban titik Q pada 1 m dari A. Cari tindak balas R_D pada penggelek.

AC = 3 mAD = 10 mP = 65 kN pada 9 mw = 6 kN/m dari 3 hingga 10 mQ = 60 kN pada 1 m

R_D = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 4 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 60 kN

F_AB = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 45 kNbeban mengufuk = 20 kN →

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Engkol loceng yang ditunjukkan berputar pada pin O. Daya menegak 100 N pada A (120 mm dari O) diimbangi oleh daya mengufuk pada B (150 mm di atas O). Cari magnitud tindak balas pin F_O.

F = 100 NOA = 120 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Rangka & mesinSukar

Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 80 mm antara pin. Sambungan B berada 12 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 1000 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.

Q = 1000 NAB = BC = 80 mmh = 12 mm

F = N

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

60 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 5 mP = 55 kN pada 3 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 5 m

M_max = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 120 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 30 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 100 × 12 mm, web setinggi 320 mm dan setebal 10 mm, dan bebibir bawah 180 × 22 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 100 × 12 mmweb: 10 × 320 mmbebibir bawah: 180 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 63.69 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 0·(−5) + 6·6 + (−2)·5 = 26

Magnitud

|a| = √(0² + 6² + (−2)²) = 6.325

|b| = √((−5)² + 6² + 5²) = 9.274

Sudut

cos θ = 26/(6.325·9.274) = 0.4433

θ = arccos(0.4433) = 63.69°

Jawapan

θ = 63.69°

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_y = 0.3015

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−1) − (−2)·1 = −2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·2 − 2·(−1) = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·1 − 4·2 = −6

Normalkan

Komponen-z bagi a × b negatif, maka gunakan −(a × b).

|a × b| = √((−2)² + (−2)² + (−6)²) = 6.633

n̂ = −(−2, −2, −6)/6.633 = (0.3015, 0.3015, 0.9045)

n̂_y = 0.3015

Jawapan

n̂_y = 0.3015

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 37.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1.5 + 50·2

R_B = 130/4 = 32.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 32.5 = 37.5 kN

Jawapan

R_A = 37.5 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_D = 76.71 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.

Bahagian CD

Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.

W = 6·7 = 42 kN pada 3.5 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·7 = 65·6 + 42·3.5

R_D = 76.71 kN

V_C = 107 − 76.71 = 30.29 kN

Jawapan

R_D = 76.71 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −16.97 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·4 → C_y = 48 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 48 = 12 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12/0.7071 = −16.97 kN

Jawapan

F_AB = −16.97 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −31.3 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·1 + 20·2 → C_y = 17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 17 = 28 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −28/0.8944 = −31.3 kN

Jawapan

F_AB = −31.3 kN (mampatan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: F_O = 128.1 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Daya pada B

Q = 100·120/150 = 80 N

Tindak balas pin

O_x = 80 N, O_y = 100 N

F_O = √(80² + 100²) = 128.1 N

Jawapan

F_O = 128.1 N

8.Rangka & mesin

Jawapan: F = 303.4 N

Sudut penghubung

sin θ = 12/80 = 0.15, θ = 8.627°

Daya penghubung

F_link = Q/cos θ = 1011 N

Daya pada B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1000·tan θ = 303.4 N

Jawapan

F = 303.4 N

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 50 kN, R₂ = 70 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 80, M_D = 105, M_E = 120 kN·m, M_F = 65, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 120 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 102 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3 + 12·5·2.5

R_B = 315/5 = 63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 63 = 52 kN

Di manakah V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 16 kN

V(3⁺) = 16 − 55 = −39 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 52·3 − 12·3²/2 = 102 kN·m

Jawapan

M_max = 102 kN·m

Ia berlaku pada x = 3 m dari A.

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 269.3 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (36000·150 − 706.9·120)/(36000 − 706.9) = 150.6 mm

Plat penuh pada ȳ

120·300³/12 + 36000·−0.6008² = 270 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−30.6² = 0.7017 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 269.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 269.3 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 149 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 1200 mm², y = 348 mm

web: A = 3200 mm², y = 182 mm

bebibir bawah: A = 3960 mm², y = 11 mm

Sentroid

ȳ = (1200·348 + 3200·182 + 3960·11)/8360 = 124.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 100·12³/12 + 1200·223.2² = 5.978 × 10⁷ mm⁴

web: 10·320³/12 + 3200·57.17² = 3.777 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 180·22³/12 + 3960·113.8² = 5.147 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.978 × 10⁷ + 3.777 × 10⁷ + 5.147 × 10⁷

I_x = 1.49 × 10⁸ mm⁴ = 149 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 149 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics