Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (−25, 5, 25) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(4, −5, −2) ke titik B(−1, −4, 3). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (−25, 5, 25) NA(4, −5, −2) mB(−1, −4, 3) m

W = J

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (−30, −50, −30) N bertindak pada titik A(0, 2, −3). Koordinat dalam meter. Cari magnitud |M| momen daya terhadap titik O(2, 0, 3).

F = (−30, −50, −30) NA(0, 2, −3) mO(2, 0, 3) m

|M| = N·m

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, turun daripada 6 kN/m di A kepada sifar di B. Cari tindak balas penyokong menegak R_A.

L = 4 mw₀ = 6 kN/m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 8 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 6 m dari A dan beban teragih seragam w dari 8 m hingga hujung bebas pada 10 m. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 8 mAC = 10 mP = 40 kN pada 6 mw = 3 kN/m dari 8 hingga 10 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 3 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 45 kN

F_AB = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 15 kN ↓F: 25 kN ↓F: 40 kN →G: 10 kN ↓H: 25 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Rangka & mesinSederhana

Rasuk mengufuk AB dipin pada dinding di A dan ditopang oleh topang CD, dipin pada dinding di C, 0.6 m di bawah A. Beban 12 kN tergantung pada B. Abaikan berat. Cari magnitud daya pin A pada rasuk di A.

P = 12 kNAD = 1 mAB = 2.5 mAC = 0.6 m

A = kN

8.Rangka & mesinSukar

Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 8 m, dan B setinggi 4 m dan 1.2 m di sebelah kanan A. Anggota AB membawa beban menegak 8 kN pada K, 0.9 m (secara mengufuk) dari A, dan beban mengufuk 6 kN ke kanan bertindak pada B pada anggota AB. Cari saiz tindak balas mengufuk A_x di A.

P = 8 kNQ = 6 kNL = 8 mH = 4 mjarak mengufuk A ke B = 1.2 mjarak mengufuk A ke K = 0.9 m

A_x = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

30 kN @ 3 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur sagging maksimum M_max di antara penyokong.

L = 10 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 10 mpenyokong pada x = 0 dan x = 8 m

M_max = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 60 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 200 mmpotongan: 30 × 40 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 255 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (−1, −4, 3) − (4, −5, −2) = (−5, 1, 5) m

Kerja

W = F·d = (−25)·(−5) + 5·1 + 25·5 = 255 J

Jawapan

W = 255 J

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: |M| = 411.8 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (0, 2, −3) − (2, 0, 3) = (−2, 2, −6) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·(−30) − (−6)·(−50) = −360 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−6)·(−30) − (−2)·(−30) = 120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·(−50) − 2·(−30) = 160 N·m

Magnitud

|M| = √((−360)² + 120² + 160²) = 411.8 N·m

Jawapan

|M| = 411.8 N·m

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 8 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·1.333

R_B = 4 kN

R_A = 12 − 4 = 8 kN

Jawapan

R_A = 8 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 9.25 kN

Daya paduan beban teragih

W = 3·2 = 6 kN, x̄ = (8 + 10)/2 = 9 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·6 + 6·9

R_B = 294/8 = 36.75 kN

R_A = 46 − 36.75 = 9.25 kN

Jawapan

R_A = 9.25 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −15 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·4 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 36 = 9 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 3/5 = 0.6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9/0.6 = −15 kN

Jawapan

F_AB = −15 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 75 kN (T), BC: 75 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 65 kN (T), FG: 76.67 kN (C), GH: 76.67 kN (C), AF: 43.75 kN (C), HE: 81.25 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 2.083 kN (T), HC: 14.58 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF

7.Rangka & mesin

Jawapan: A = 53.14 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya topang

F_CD = 12·2.5/(0.5145·1) = 58.31 kN

Komponen di A

A_x = F_CD·cos α = 50 kN (ke arah dinding)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −18 kN

Magnitud

A = √(50² + −18²) = 53.14 kN

Jawapan

A = 53.14 kN

A_y negatif bermaksud dinding menarik rasuk ke bawah di A.

8.Rangka & mesin

Jawapan: A_x = 0.63 kN

Arah BC

BC = 7.889 m, cos = 0.8619, sin = 0.507

Seluruh rangka: momen pada A

F_BC·0.507·8 = 8·0.9 + 6·4

F_BC = 7.692 kN

Imbangan mengufuk

A_x + 6 − 7.692·0.8619 = 0

A_x = 0.63 kN → |A_x| = 0.63 kN

Jawapan

A_x = 0.63 kN

A_x menuju ke kanan.

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 47 kN, R₂ = 31 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 41, M_C = 70, M_D = 87 kN·m, M_E = 62, M_F = 31, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 87 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 35.16 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·10·5

R_B = 250/8 = 31.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 31.25 = 18.75 kN

Daya ricih sifar

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18.75/5 = 3.75 m

Momen sagging maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 18.75²/(2·5) = 35.16 kN·m

Jawapan

M_max = 35.16 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 53.29 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

web: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·310 + 3000·150)/5000 = 214 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 100·20³/12 + 2000·(310 − 214)² = 1.85 × 10⁷ mm⁴

web: 10·300³/12 + 3000·(150 − 214)² = 3.479 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.85 × 10⁷ + 3.479 × 10⁷ = 5.329 × 10⁷ mm⁴ = 53.29 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 53.29 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 64.46 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (20000·100 − 1200·60)/(20000 − 1200) = 102.6 mm

Plat penuh pada ȳ

100·200³/12 + 20000·−2.553² = 66.8 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·40³/12 + 1200·−42.55² = 2.333 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 64.46 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 64.46 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics