Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari nilai k supaya vektor a = (−6, −1, −1) dan b = (2, k, 2) berserenjang.

a = (−6, −1, −1)b = (2, k, 2)

k =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (−40, 40, −40) N bertindak pada titik A(4, −1, 1). Koordinat dalam meter. Cari magnitud |M| momen daya terhadap asalan O(0, 0, 0).

F = (−40, 40, −40) NA(4, −1, 1) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_B.

L = 4 mP₁ = 30 kN pada 1.5 mP₂ = 50 kN pada 2 m

R_B = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 8 mP = 55 kN pada 5 mw = 3 kN/m dari 4 hingga 7 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 10 kN ↓G: 15 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 35 kN ↓C: 30 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Rangka & mesinSederhana

Engkol loceng yang ditunjukkan berputar pada pin O. Daya menegak 250 N pada A (100 mm dari O) diimbangi oleh daya mengufuk pada B (100 mm di atas O). Cari magnitud tindak balas pin F_O.

F = 250 NOA = 100 mmOB = 100 mm

F_O = N

8.Rangka & mesinSukar

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 3.2 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 4 m, dan diikat oleh bar mengufuk DE pada 1.8 m. Daya mengufuk 12 kN ke kanan bertindak pada C. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 12 kNAB = 3.2 mketinggian C = 4 mketinggian DE = 1.8 m

T = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

35 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

45 kN @ 6 m40 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 200 mm × 200 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 140 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 150 mm dan setebal 18 mm, kedalaman keseluruhan 500 mm dan web setebal 8 mm. Ia menanggung momen lentur 100 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur σ_j pada simpang antara web dengan bebibir atas.

B = 150 mmH = 500 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = −14

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = (−6)·2 + (−1)·k + (−1)·2 = 0

−14 + (−1)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−14)/(−1) = −14

Jawapan

k = −14

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: |M| = 169.7 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (4, −1, 1) − (0, 0, 0) = (4, −1, 1) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−40) − 1·40 = 0 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·(−40) − 4·(−40) = 120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 4·40 − (−1)·(−40) = 120 N·m

Magnitud

|M| = √(0² + 120² + 120²) = 169.7 N·m

Jawapan

|M| = 169.7 N·m

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 36.25 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1.5 + 50·2

R_B = 145/4 = 36.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 36.25 = 43.75 kN

Jawapan

R_B = 36.25 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 23.44 kN

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·3 = 9 kN, bertindak pada x̄ = 5.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 3·3·5.5

R_B = 324.5/8 = 40.56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 40.56 = 23.44 kN

Jawapan

R_A = 23.44 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 11.25 kN (T), BC: 11.25 kN (T), CD: 7.5 kN (T), DE: 7.5 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 18.75 kN (C), HE: 12.5 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 6.25 kN (T), HC: 12.5 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 53.33 kN (T), BC: 53.33 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 40 kN (T), FG: 100 kN (C), GH: 100 kN (C), AF: 91.67 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 33.33 kN (T), HC: 50 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH

7.Rangka & mesin

Jawapan: F_O = 353.6 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Daya pada B

Q = 250·100/100 = 250 N

Tindak balas pin

O_x = 250 N, O_y = 250 N

F_O = √(250² + 250²) = 353.6 N

Jawapan

F_O = 353.6 N

8.Rangka & mesin

Jawapan: T = 10.91 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Seluruh rangka: momen pada A

B_y·3.2 = 12·4

B_y = 15 kN

Kaki BC: momen pada C

15·1.6 = T·2.2

T = 10.91 kN

Jawapan

T = 10.91 kN

T positif bermaksud tali ikat dalam tegangan, seperti yang dianggap.

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 41.67 kN, R₂ = 53.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 36.67, M_C = 63.33, M_D = 80, M_E = 86.67 kN·m, M_F = 48.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 86.67 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 5 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 7 kN, R₂ = 78 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 7, M_C = 14, M_D = 21, M_E = −12, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −45 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 129.7 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (40000·100 − 1963·140)/(40000 − 1963) = 97.94 mm

Plat penuh pada ȳ

200·200³/12 + 40000·2.065² = 133.5 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·50⁴/64 + 1963·42.06² = 3.781 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 129.7 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 129.7 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_j = 60.99 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 500 − 2·18 = 464 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·500³ − 142·464³)/12

I_x = 3.804 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 250 − 18 = 232 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·232/3.804 × 10⁸ = 60.99 MPa

Jawapan

σ_j = 60.99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics