Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari sudut θ antara vektor a = (−5, 5, −5) dan b = (−1, 5, 2), dalam darjah.
a = (−5, 5, −5)b = (−1, 5, 2)
θ = °
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Bagi a = (−3, −2, 2) dan b = (6, −3, −5), cari komponen-y (a × b)y hasil darab silang a × b.
a = (−3, −2, 2)b = (6, −3, −5)
(a × b)y =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 9 m dari A dan pasangan daya lawan arah jam M pada 6 m dari A. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.
L = 10 mP = 35 kN pada 9 mM = 15 kN·m (lawan arah jam) pada 6 m
RA = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 2.5 m dari A, condong pada 30° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 1 m dari A. Cari sudut α antara daya tindak balas jumlah pada pin A dengan garis mengufuk.
L = 4 mP = 75 kN pada 2.5 m, θ = 30°Q = 75 kN pada 1 m
α = °
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
B: 35 kN ↓C: 40 kN ↓G: 35 kN ↓
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
B: 35 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓H: 35 kN ←
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC
7.Rangka & mesinSederhana
Rasuk mengufuk AB dipin pada dinding di A dan ditopang oleh topang CD, dipin pada dinding di C, 1.2 m di bawah A. Beban 8 kN tergantung pada B. Abaikan berat. Cari magnitud daya pin A pada rasuk di A.
P = 8 kNAD = 0.8 mAB = 2 mAC = 1.2 m
A = kN
8.Rangka & mesinSukar
Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 5 m, dan B setinggi 2 m dan 2.25 m di sebelah kanan A. Anggota AB membawa beban menegak 5 kN pada K, 1.35 m (secara mengufuk) dari A, dan beban mengufuk 10 kN ke kanan bertindak pada B pada anggota AB. Cari saiz tindak balas mengufuk Ax di A.
P = 5 kNQ = 10 kNL = 5 mH = 2 mjarak mengufuk A ke B = 2.25 mjarak mengufuk A ke K = 1.35 m
Ax = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M0 = 30 kN·m pada x = 3 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur Mx sejurus di sebelah kiri pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.
L = 8 mM0 = 30 kN·m ikut arah jam, pada 3 m
Mx = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur MB pada penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.
L = 8 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 8 mpenyokong pada x = 0 dan x = 6 m
MB = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 80 mm dan diameter dalam d = 60 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.
D = 80 mmd = 60 mm
r = mm
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 50 MPa dalam tegangan dan 150 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar Mallow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil darab titik
a·b = (−5)·(−1) + 5·5 + (−5)·2 = 20
Magnitud
|a| = √((−5)² + 5² + (−5)²) = 8.66
|b| = √((−1)² + 5² + 2²) = 5.477
Sudut
cos θ = 20/(8.66·5.477) = 0.4216
θ = arccos(0.4216) = 65.06°
Jawapan
θ = 65.06°
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: (a × b)y = −3
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang, komponen demi komponen
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·(−5) − 2·(−3) = 16
(a × b)y = azbx − axbz = 2·6 − (−3)·(−5) = −3
(a × b)z = axby − aybx = (−3)·(−3) − (−2)·6 = 21
Komponen yang diminta
(a × b)y = −3
Jawapan
(a × b)y = −3
Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = 5 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Momen pada A
Lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: RB·10 − 35·9 + 15 = 0
RB = 300/10 = 30 kN
Keseimbangan menegak
RA = 35 − 30 = 5 kN
Jawapan
RA = 5 kN
Tindak balas negatif bertindak ke bawah.
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: α = 47.27 °
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Komponen P
Pv = 75·sin 30° = 37.5 kN
Ph = 75·cos 30° = 64.95 kN
Tindak balas
ΣMA = 0: RB·4 = 37.5·2.5 + 75·1 → RB = 42.19 kN
Ay = 37.5 + 75 − 42.19 = 70.31 kN
Ax = Ph = 64.95 kN
Arah pada A
α = atan(Ay/Ax) = atan(70.31/64.95) = 47.27°
Jawapan
α = 47.27°
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: anggota DH
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi D
CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi D
CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Daya topang
FCD = 8·2/(0.8321·0.8) = 24.04 kN
Komponen di A
Ax = FCD·cos α = 13.33 kN (ke arah dinding)
Ay = 8 − FCD·sin α = −12 kN
Magnitud
A = √(13.33² + −12²) = 17.94 kN
Jawapan
A = 17.94 kN
Ay negatif bermaksud dinding menarik rasuk ke bawah di A.
8.Rangka & mesin
Jawapan: Ax = 2.644 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Arah BC
BC = 3.4 m, cos = 0.8087, sin = 0.5882
Seluruh rangka: momen pada A
FBC·0.5882·5 = 5·1.35 + 10·2
FBC = 9.096 kN
Imbangan mengufuk
Ax + 10 − 9.096·0.8087 = 0
Ax = −2.644 kN → |Ax| = 2.644 kN
Jawapan
Ax = 2.644 kN
Tanda tolak bermaksud Ax menuju ke kiri.
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mx = −11.25 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.
Tindak balas penyokong
Momen pada A, lawan arah jam positif: RB·L − M0 = 0. Keseimbangan menegak: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 30/8 = 3.75 kN (ke atas)
RA = −RB = −3.75 kN (ke bawah)
Keratan sejurus di sebelah kiri pasangan daya
Bahagian kiri hanya mengandungi RA.
Mx = RA·a = −3.75·3 = −11.25 kN·m
Jawapan
Mx = −11.25 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: MB = −16 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, bertindak pada x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·8·4
RB = 256/6 = 42.67 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 42.67 = 21.33 kN
Keratan pada B dan simpan juluran
Beban pada juluran, w·a, bertindak pada a/2 dari B dan menyebabkan rasuk melentur secara hogging di atas penyokong.
MB = −w·a²/2 = −8·2²/2 = −16 kN·m
Jawapan
MB = −16 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: r = 25 mm
Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = Ic + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.
Luas bersih dan momen luas kedua
A = π(D² − d²)/4 = 2199 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.374 × 10⁶ mm⁴
Jejari legaran
r = √(I/A) = √(1.374 × 10⁶/2199) = 25 mm
Jawapan
r = 25 mm
12.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Mallow = 9.152 kN·m
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.