Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (7, 1, −6) pada b = (−1, 6, −3), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (7, 1, −6)b = (−1, 6, −3)

comp_b a =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (−50, 0, −30) N bertindak pada titik A(−4, −1, 0). Koordinat dalam meter. Cari komponen-z M_z momen daya terhadap asalan O(0, 0, 0).

F = (−50, 0, −30) NA(−4, −1, 0) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w dari dinding hingga 7 m dan beban titik P pada 6 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 10 mP = 80 kN pada 6 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 7 m

M_A = kN·m

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 10 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 3.5 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 40 kN pada 3.5 m

M_A = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 15 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 2 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 35 kNbeban mengufuk = 15 kN →

F_AC = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Dalam pengapit togol yang ditunjukkan, dua penghubung AB dan BC yang sama dipin bersama di B, dan setiap satu membuat sudut 12° dengan garis AC. Daya ke bawah 100 N dikenakan pada B. Penggelongsor C menekan bahan kerja. Dengan mengabaikan geseran dan berat, cari daya pengapitan mengufuk Q.

F = 100 Nθ = 12°

Q = N

8.Rangka & mesinSukar

Rasuk AB pendakap dinding yang ditunjukkan dipin di A dan ditopang oleh topang CD (C berada 0.8 m di bawah A). Rasuk membawa beban seragam 2.5 kN/m sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik 4 kN pada hujung bebasnya B. Cari daya F_CD dalam topang.

w = 2.5 kN/mP = 4 kNAD = 1.6 mAB = 3 mAC = 0.8 m

F_CD = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 15 kN·m pada x = 9 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 10 mM₀ = 15 kN·m ikut arah jam, pada 9 m

M_x = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

15 kN @ 0 m60 kN @ 6 m35 kN @ 4 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 200 mm × 150 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 97.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = 2.507

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 7·(−1) + 1·6 + (−6)·(−3) = 17

Panjang b

|b| = √((−1)² + 6² + (−3)²) = 6.782

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = 17/6.782 = 2.507

Jawapan

comp_b a = 2.507

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: M_z = −50 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (−4, −1, 0) − (0, 0, 0) = (−4, −1, 0) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−30) − 0·0 = 30 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−50) − (−4)·(−30) = −120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·0 − (−1)·(−50) = −50 N·m

Komponen yang diminta

M_z = −50 N·m

Jawapan

M_z = −50 N·m

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 627 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 6·7 = 42 kN, x̄ = 3.5 m

Momen pada dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 80·6 + 42·3.5 = 627 kN·m

Jawapan

M_A = 627 kN·m

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 223.3 kN·m

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

Momen pada dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 25·3.333 + 40·3.5 = 223.3 kN·m

Jawapan

M_A = 223.3 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 6 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 → C_y = 3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3 = 12 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3/0.4472 = −6.708 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−6.708)·0.8944 = 6 kN

Jawapan

F_AC = 6 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 16.88 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 + 15·2 → C_y = 33.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 33.75 = 1.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.75/0.8944 = −37.73 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−37.73)·0.4472 = 16.88 kN

Jawapan

F_AC = 16.88 kN (tegangan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: Q = 235.2 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Keseimbangan pin B

2·F_link·sin 12° = 100

F_link = 240.5 N

Daya pengapitan

Q = F_link·cos 12° = 100/(2·tan 12°) = 235.2 N

Jawapan

Q = 235.2 N

Nisbah daya Q/F = 2.352 bertambah tanpa had apabila penghubung diluruskan.

8.Rangka & mesin

Jawapan: F_CD = 32.49 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Paduan beban seragam

w·L = 2.5·3 = 7.5 kN pada 1.5 m

Momen pada A untuk rasuk

F_CD·0.4472·1.6 = 7.5·1.5 + 4·3 = 23.25 kN·m

F_CD = 32.49 kN

Jawapan

F_CD = 32.49 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 1.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/10 = 1.5 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −1.5 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi R_A dan pasangan daya.

M_x = R_A·a + M₀ = −1.5·9 + 15 = 1.5 kN·m

Jawapan

M_x = 1.5 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 24.5 kN, R₂ = 109.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −8.5, M_D = −8, M_E = −13.5, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −60 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 54.03 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (30000·75 − 2827·97.5)/(30000 − 2827) = 72.66 mm

Plat penuh pada ȳ

200·150³/12 + 30000·2.341² = 56.41 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·24.84² = 2.381 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 54.03 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 54.03 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 29.73 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

web: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·265 + 2080·130)/4680 = 205 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 260·10³/12 + 2600·(265 − 205)² = 9.382 × 10⁶ mm⁴

web: 8·260³/12 + 2080·(130 − 205)² = 2.342 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.382 × 10⁶ + 2.342 × 10⁷ = 3.28 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 270 − 205 = 65 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·65/3.28 × 10⁷ = 29.73 MPa

Jawapan

σ_atas = 29.73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics