Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|

Kaedah

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
  3. Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban

Kaedah

  1. Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
  2. Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
  3. Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
  4. Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
xyzab

Cari hasil darab titik a·b bagi a = (4, −5, 3) dan b = (3, 6, −5).

a = (4, −5, 3)b = (3, 6, −5)
a·b =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
xyzABC

Cari luas A segi tiga dengan bucu A(1, −4, 4), B(0, −1, −4) dan C(−2, −1, 2). Koordinat dalam meter.

A(1, −4, 4)B(0, −1, −4)C(−2, −1, 2)
A = m²
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 55 kNP2​ = 65 kNABCRA​ = ?4 m2 m4 m

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 6 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 6 mAC = 10 mP1 = 55 kN pada 4 mP2 = 65 kN pada 10 m
RA = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 2 kN/mP = 30 kNABCRA​ = ?3 m0.5 m1 m1.5 m

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 4.5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 3 m dari A dan beban teragih seragam w dari 3.5 m hingga hujung bebas pada 6 m. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 4.5 mAC = 6 mP = 30 kN pada 3 mw = 2 kN/m dari 3.5 hingga 6 m
RA = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABBCACACB35 kN4 m1 m4 m

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 4 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 35 kN
FBC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH35 kN25 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 35 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
7.Rangka & mesinSederhana
250 NQ = ?25°ABC

Dalam pengapit togol yang ditunjukkan, dua penghubung AB dan BC yang sama dipin bersama di B, dan setiap satu membuat sudut 25° dengan garis AC. Daya ke bawah 250 N dikenakan pada B. Penggelongsor C menekan bahan kerja. Dengan mengabaikan geseran dan berat, cari daya pengapitan mengufuk Q.

F = 250 Nθ = 25°
Q = N
8.Rangka & mesinSukar
F = ?2000 N10 mmABC

Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 200 mm antara pin. Sambungan B berada 10 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 2000 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.

Q = 2000 NAB = BC = 200 mmh = 10 mm
F = N
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
5 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

55 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.Daya ricih & momen lenturSukar
60 kN15 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

60 kN @ 0 m15 kN @ 12 m35 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
2202030012xdimensi dalam mm

Cari momen luas kedua Ix keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
1201528018xM = 30 kN·mdimensi dalam mm

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 30 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σatas pada tepi atas.

bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 280 mmM = 30 kN·m
σatas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: a·b = −33

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

a·b = 4·3 + (−5)·6 + 3·(−5) = 12 + (−30) + (−15) = −33

Jawapan

a·b = −33

Negatif: sudut antara vektor lebih daripada 90°.

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 14.53 m²

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (−1, 3, −8)
AC = C − A = (−3, 3, −2)

Hasil darab silang

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 3·(−2) − (−8)·3 = 18
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−8)·(−3) − (−1)·(−2) = 22
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·3 − 3·(−3) = 6
|AB × AC| = √(18² + 22² + 6²) = 29.05

Luas segi tiga

A = ½·29.05 = 14.53 m²

Jawapan

A = 14.53 m²
3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = −25 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·4 + 65·10
RB = 870/6 = 145 kN

Keseimbangan menegak

RA = 55 + 65 − 145 = −25 kN

Jawapan

RA = −25 kN

RA negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 9.722 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban teragih

W = 2·2.5 = 5 kN, x̄ = (3.5 + 6)/2 = 4.75 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·4.5 = 30·3 + 5·4.75
RB = 113.8/4.5 = 25.28 kN
RA = 35 − 25.28 = 9.722 kN

Jawapan

RA = 9.722 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: FBC = −10.94 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 → Cy = 8.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 8.75 = 26.25 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.75/0.8 = −10.94 kN

Jawapan

FBC = −10.94 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 12.19 kN (C), BC: 0.625 kN (T), CD: 0.625 kN (T), DE: 13.44 kN (T), FG: 12.81 kN (C), GH: 38.44 kN (C), AF: 21.35 kN (C), HE: 22.4 kN (C), BF: 17.08 kN (T), CG: 0, DH: 17.92 kN (T), BG: 21.35 kN (C), DG: 21.35 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Rangka & mesin

Jawapan: Q = 268.1 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Keseimbangan pin B

2·Flink·sin 25° = 250
Flink = 295.8 N

Daya pengapitan

Q = Flink·cos 25° = 250/(2·tan 25°) = 268.1 N

Jawapan

Q = 268.1 N

Nisbah daya Q/F = 1.072 bertambah tanpa had apabila penghubung diluruskan.

8.Rangka & mesin

Jawapan: F = 200.3 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Sudut penghubung

sin θ = 10/200 = 0.05, θ = 2.866°

Daya penghubung

Flink = Q/cos θ = 2003 N

Daya pada B

F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 200.3 N

Jawapan

F = 200.3 N
9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 42.5 kN, R2 = 42.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 40, MC = 75, MD = 105 kN·m, ME = 75, MF = 40, MG = 0

Jawapan

Tanda D: MD = 105 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: B (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 88.75 kN, R2 = 21.25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −120 kN·m, MC = −62.5, MD = −5, ME = −17.5, MF = −30, MG = 0

Jawapan

Tanda B: MB = −120 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Ix = 77.83 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 220·20 = 4400 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
web: Aw = 12·300 = 3600 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4400·310 + 3600·150)/8000 = 238 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·20³/12 + 4400·(310 − 238)² = 2.296 × 10⁷ mm⁴
web: 12·300³/12 + 3600·(150 − 238)² = 5.488 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.296 × 10⁷ + 5.488 × 10⁷ = 7.783 × 10⁷ mm⁴ = 77.83 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 77.83 × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σatas = 56.38 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 280 + 15/2 = 287.5 mm
web: Aw = 18·280 = 5040 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·287.5 + 5040·140)/6840 = 178.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 120·15³/12 + 1800·(287.5 − 178.8)² = 2.13 × 10⁷ mm⁴
web: 18·280³/12 + 5040·(140 − 178.8)² = 4.052 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.13 × 10⁷ + 4.052 × 10⁷ = 6.182 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 295 − 178.8 = 116.2 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·116.2/6.182 × 10⁷ = 56.38 MPa

Jawapan

σatas = 56.38 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics