Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|

Kaedah

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
  3. Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban

Kaedah

  1. Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
  2. Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
  3. Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
  4. Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
xyzab

Cari nilai k supaya vektor a = (4, 4, 5) dan b = (0, 5, k) berserenjang.

a = (4, 4, 5)b = (0, 5, k)
k =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
xyzab

Bagi a = (2, 6, 1) dan b = (−3, 2, −6), cari komponen-y (a × b)y hasil darab silang a × b.

a = (2, 6, 1)b = (−3, 2, −6)
(a × b)y =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 35 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​1.5 m1 m1.5 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.

L = 4 mP1 = 35 kN pada 1.5 mP2 = 25 kN pada 2.5 m
RA = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?6 m3 m1 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 10 mP = 25 kN pada 9 mw = 12 kN/m dari 6 hingga 10 m
RB = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH10 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

F: 10 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH35 kN20 kN10 kN30 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 35 kN ↓G: 20 kN ↓H: 10 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota BG
  13. 13anggota DG
7.Rangka & mesinSederhana
OAB200 NQ100 mm120 mmFO​ = ?

Engkol loceng yang ditunjukkan berputar pada pin O. Daya menegak 200 N pada A (100 mm dari O) diimbangi oleh daya mengufuk pada B (120 mm di atas O). Cari magnitud tindak balas pin FO.

F = 200 NOA = 100 mmOB = 120 mm
FO = N
8.Rangka & mesinSukar
F = ?1000 N10 mmABC

Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 100 mm antara pin. Sambungan B berada 10 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 1000 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.

Q = 1000 NAB = BC = 100 mmh = 10 mm
F = N
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 60 kNP2​ = 75 kNAB1.5 m2 m2.5 m

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 6 mP1 = 60 kN pada 1.5 mP2 = 75 kN pada 3.5 m
Mmax = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 10 kN/mP = 10 kNABkeratan1 m4 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 10 kN pada 1 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
xD = 130d = 106dimensi dalam mm

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 130 mm dan diameter dalam d = 106 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 130 mmd = 106 mm
r = mm
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
1603802214xM = 80 kN·mdimensi dalam mm

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 160 mm dan setebal 22 mm, kedalaman keseluruhan 380 mm dan web setebal 14 mm. Ia menanggung momen lentur 80 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur σj pada simpang antara web dengan bebibir atas.

B = 160 mmH = 380 mmtf = 22 mmtw = 14 mmM = 80 kN·m
σj = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = −4

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = 4·0 + 4·5 + 5·k = 0
20 + 5·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −20/5 = −4

Jawapan

k = −4
2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: (a × b)y = 9

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang, komponen demi komponen

(a × b)x = aybz − azby = 6·(−6) − 1·2 = −38
(a × b)y = azbx − axbz = 1·(−3) − 2·(−6) = 9
(a × b)z = axby − aybx = 2·2 − 6·(−3) = 22

Komponen yang diminta

(a × b)y = 9

Jawapan

(a × b)y = 9

Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RA = 31.25 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 35 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​1.5 m1 m1.5 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·4 = 35·1.5 + 25·2.5
RB = 115/4 = 28.75 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 28.75 = 31.25 kN

Jawapan

RA = 31.25 kN
4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 60.9 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​RB​6 m3 m1 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 8 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·9 + 12·4·8
RB = 609/10 = 60.9 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 60.9 = 12.1 kN

Jawapan

RB = 60.9 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 7.5 kN (T), BC: 5 kN (T), CD: 5 kN (T), DE: 2.5 kN (T), FG: 7.5 kN (C), GH: 2.5 kN (C), AF: 10.61 kN (C), HE: 3.536 kN (C), BF: 2.5 kN (C), CG: 0, DH: 2.5 kN (T), BG: 3.536 kN (T), DG: 3.536 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 1.25 kN (C), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 28.75 kN (C), GH: 66.25 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 51.27 kN (C), BF: 28.75 kN (T), CG: 0, DH: 26.25 kN (T), BG: 40.66 kN (C), DG: 12.37 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Rangka & mesin

Jawapan: FO = 260.3 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Daya pada B

Q = 200·100/120 = 166.7 N

Tindak balas pin

Ox = 166.7 N, Oy = 200 N
FO = √(166.7² + 200²) = 260.3 N

Jawapan

FO = 260.3 N
8.Rangka & mesin

Jawapan: F = 201 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Sudut penghubung

sin θ = 10/100 = 0.1, θ = 5.739°

Daya penghubung

Flink = Q/cos θ = 1005 N

Daya pada B

F = 2·Flink·sin θ = 2·1000·tan θ = 201 N

Jawapan

F = 201 N
9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 146.9 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·1.5 + 75·3.5
RB = 352.5/6 = 58.75 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 58.75 = 76.25 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P1: M = RA·1.5 = 76.25·1.5 = 114.4 kN·m
di bawah P2: M = RB·2.5 = 58.75·2.5 = 146.9 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 146.9 kN·m (di bawah P2)

Jawapan

Mmax = 146.9 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 28 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·1 + 10·5·2.5
RB = 135/5 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 27 = 33 kN
w = 10 kN/mP = 10 kNABRA​ = 33RB​ = 27keratan1 m4 m

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 33·1 − 10·1·0.5 = 28 kN·m

Jawapan

Mx = 28 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 41.93 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = Ic + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 4448 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7.823 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(7.823 × 10⁶/4448) = 41.93 mm

Jawapan

r = 41.93 mm
12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σj = 49.76 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan berkongsi paksi x.

hw = 380 − 2·22 = 336 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·380³ − 146·336³)/12
Ix = 2.701 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 190 − 22 = 168 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·168/2.701 × 10⁸ = 49.76 MPa

Jawapan

σj = 49.76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics