Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (30, 30, 30) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(1, −5, 3) ke titik B(2, 1, 0). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (30, 30, 30) NA(1, −5, 3) mB(2, 1, 0) m

W = J

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (−1, −2, 4), b = (5, −5, −5) dan c = (1, −5, 5).

a = (−1, −2, 4)b = (5, −5, −5)c = (1, −5, 5)

V =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 4.5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 4.5 mAC = 6 mP₁ = 25 kN pada 3 mP₂ = 80 kN pada 6 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (3 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (8 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 6 m dari A, beban teragih seragam w pada seluruh bahagian CD. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

AC = 3 mAD = 8 mP = 45 kN pada 6 mw = 10 kN/m dari 3 hingga 8 m

M_A = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 35 kN ↓D: 30 kN ↓F: 15 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 30 kN ↓D: 20 kN ↓F: 25 kN ↓H: 15 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Rangka & mesinSederhana

Engkol loceng yang ditunjukkan berputar pada pin O. Daya menegak 150 N pada A (240 mm dari O) diimbangi oleh daya mengufuk pada B (150 mm di atas O). Cari magnitud tindak balas pin F_O.

F = 150 NOA = 240 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Rangka & mesinSukar

Bum seragam mengufuk AB berberat 1.5 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari B ke titik C pada dinding, 1 m di atas A. Beban 8 kN tergantung pada B. Cari magnitud tindak balas pin A.

W = 8 kNW_b = 1.5 kNAB = 2.5 mAC = 1 m

A = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 4 mP₁ = 35 kN pada 1 mP₂ = 35 kN pada 1.5 m

M_max = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 45 kN pada 9 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 150 mm dan setebal 10 mm, kedalaman keseluruhan 360 mm dan web setebal 8 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 150 mmH = 360 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 190 mm dan setebal 22 mm, kedalaman keseluruhan 320 mm dan web setebal 12 mm. Ia menanggung momen lentur 50 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur σ_j pada simpang antara web dengan bebibir atas.

B = 190 mmH = 320 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 120 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (2, 1, 0) − (1, −5, 3) = (1, 6, −3) m

Kerja

W = F·d = 30·1 + 30·6 + 30·(−3) = 120 J

Jawapan

W = 120 J

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 30

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·5 − (−5)·(−5) = −50

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−5)·1 − 5·5 = −30

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·(−5) − (−5)·1 = −20

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = (−1)·(−50) + (−2)·(−30) + 4·(−20) = 30

V = |30| = 30

Jawapan

V = 30

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = −18.33 kN

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 25·3 + 80·6

R_B = 555/4.5 = 123.3 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 25 + 80 − 123.3 = −18.33 kN

Jawapan

R_A = −18.33 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 129 kN·m

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.

Bahagian CD

Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.

W = 10·5 = 50 kN pada 2.5 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 45·3 + 50·2.5

R_D = 52 kN

V_C = 95 − 52 = 43 kN

Bahagian AC

Daya engsel V_C bertindak ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan dengan tindakannya pada CD).

R_A = 43 = 43 kN

M_A = 43·3 = 129 kN·m

Jawapan

M_A = 129 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 86.67 kN (T), BC: 106.7 kN (T), CD: 106.7 kN (T), DE: 100 kN (T), FG: 86.67 kN (C), GH: 100 kN (C), AF: 108.3 kN (C), HE: 125 kN (C), BF: 50 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), BG: 25 kN (C), DG: 8.333 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 23.44 kN (T), BC: 23.44 kN (T), CD: 17.81 kN (T), DE: 17.81 kN (T), FG: 35.63 kN (C), GH: 35.63 kN (C), AF: 64.06 kN (C), HE: 29.69 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 4.687 kN (C), HC: 4.687 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: F_O = 283 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Daya pada B

Q = 150·240/150 = 240 N

Tindak balas pin

O_x = 240 N, O_y = 150 N

F_O = √(240² + 150²) = 283 N

Jawapan

F_O = 283 N

8.Rangka & mesin

Jawapan: A = 21.89 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Tegangan kabel

T = (8 + 1.5/2)/0.3714 = 23.56 kN

Komponen di A

A_x = T·cos β = 21.88 kN

A_y = 8 + 1.5 − T·sin β = 0.75 kN

Magnitud

A = √(21.88² + 0.75²) = 21.89 kN

Jawapan

A = 21.89 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 54.69 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 35·1.5

R_B = 87.5/4 = 21.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 21.88 = 48.13 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·1 = 48.13·1 = 48.13 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·2.5 = 21.88·2.5 = 54.69 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 54.69 kN·m (di bawah P₂)

Jawapan

M_max = 54.69 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 119.3 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·9 + 8·10·5

R_B = 805/10 = 80.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 125 − 80.5 = 44.5 kN

Potong pada x = 4.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 44.5·4.5 − 8·4.5·2.25 = 119.3 kN·m

Jawapan

M_x = 119.3 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 118.1 × 10⁶ mm⁴

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 360 − 2·10 = 340 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·360³ − 142·340³)/12

I_x = 1.181 × 10⁸ mm⁴ = 118.1 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 118.1 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_j = 33.34 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 320 − 2·22 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·320³ − 178·276³)/12

I_x = 2.07 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 160 − 22 = 138 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·138/2.07 × 10⁸ = 33.34 MPa

Jawapan

σ_j = 33.34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics